Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành. b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD. Chứng minh AC, QN và IJ...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành Để chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của nó song song và bằng nhau. 1. Xét cặp cạnh MN và PQ: - M là trung điểm của AB và N là trung điểm của BC, do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC. Vậy MN song song với AC và \(MN = \frac{1}{2}AC\). - Tương tự, P là trung điểm của CD và Q là trung điểm của DA, do đó PQ là đường trung bình của tam giác CDA. Vậy PQ song song với AC và \(PQ = \frac{1}{2}AC\). - Từ đó, ta có \(MN \parallel PQ\) và \(MN = PQ\). 2. Xét cặp cạnh MP và NQ: - M là trung điểm của AB và Q là trung điểm của DA, do đó MQ là đường trung bình của tam giác ABD. Vậy MQ song song với BD và \(MQ = \frac{1}{2}BD\). - Tương tự, N là trung điểm của BC và P là trung điểm của CD, do đó NP là đường trung bình của tam giác BCD. Vậy NP song song với BD và \(NP = \frac{1}{2}BD\). - Từ đó, ta có \(MP \parallel NQ\) và \(MP = NQ\). Vì hai cặp cạnh đối của tứ giác MNPQ song song và bằng nhau, nên tứ giác MNPQ là hình bình hành. b) Chứng minh AC, QN và IJ đồng quy tại 1 điểm Để chứng minh AC, QN và IJ đồng quy tại một điểm, ta cần chỉ ra rằng ba đường này cắt nhau tại một điểm chung. 1. Xét đường thẳng AC và QN: - Từ phần a, ta đã biết QN là đường trung bình của tam giác ABCD, do đó QN song song với BD và \(QN = \frac{1}{2}BD\). 2. Xét đường thẳng IJ: - I là trung điểm của AC và J là trung điểm của BD. Do đó, IJ là đường trung bình của tứ giác ABCD. 3. Chứng minh đồng quy: - Vì QN song song với BD và IJ là đường trung bình nối trung điểm của AC và BD, nên IJ cũng song song với BD. - Do đó, QN và IJ cùng song song với BD, và vì I là trung điểm của AC, nên AC, QN và IJ đồng quy tại điểm I. Vậy, AC, QN và IJ đồng quy tại điểm I.