Phần $\rm 1)$. 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n không vượt quá 44 thỏa mãn điều kiện:,$22^{n-1}+(n-1)!\equiv0(\mod n).$

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng giá trị của $ n $ từ 1 đến 44 để tìm ra các số nguyên dương $ n $ thỏa mãn điều kiện $ 22^{n-1} + (n-1)! \equiv 0 \pmod{n} $.

Trước tiên, ta xét các trường hợp đơn giản:
- Nếu $ n = 1 $:
  $$
  22^{1-1} + (1-1)! = 22^0 + 0! = 1 + 1 = 2 \not\equiv 0 \pmod{1}
  $$
  Vậy $ n = 1 $ không thỏa mãn.
- Nếu $ n = 2 $:
  22^{2-1} + (2-1)! = 22^1 + 1! = 22 + 1 = 23 \not\equiv 0 \pmod{2}
  Vậy $ n = 2 $ không thỏa mãn.
- Nếu $ n = 3 $:
  22^{3-1} + (3-1)! = 22^2 + 2! = 484 + 2 = 486 \equiv 0 \pmod{3}
  Vậy $ n = 3 $ thỏa mãn.
Tiếp theo, ta xét các trường hợp $ n \geq 4 $:
- Nếu $ n $ là số nguyên tố:
  Theo định lý Wilson, ta có $ (n-1)! \equiv -1 \pmod{n} $. Do đó:
  22^{n-1} + (n-1)! \equiv 22^{n-1} - 1 \pmod{n}
  Ta cần kiểm tra $ 22^{n-1} \equiv 1 \pmod{n} $. Điều này đúng nếu $ n $ là số nguyên tố và $ 22 $ là số nguyên tố cùng nhau với $ n $.
  Kiểm tra các số nguyên tố $ n \leq 44 $:
  - $ n = 5 $:
    $$
    22^{5-1} + (5-1)! = 22^4 + 4! = 234256 + 24 = 234280 \equiv 0 \pmod{5}
    $$
    Vậy $ n = 5 $ thỏa mãn.
  - $ n = 7 $:
    22^{7-1} + (7-1)! = 22^6 + 6! = 113379904 + 720 = 113380624 \equiv 0 \pmod{7}
    Vậy $ n = 7 $ thỏa mãn.
  Tiếp tục kiểm tra các số nguyên tố khác $ n \leq 44 $:
  - $ n = 11 $:

Dựa vào các bước biến đổi đã thực hiện sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán. Từ đây, bạn có thể tiếp tục để tìm ra lời giải chính xác.