Giup Mok vs

Câu 28: Để giải quyết các phát biểu trên, chúng ta cần hiểu rõ cấu trúc của hình hộp và các quy tắc cộng vectơ. Hình hộp ABCD.A'B'C'D' là một hình lăng trụ đứng với đáy là hình bình hành ABCD và đáy trên là A'B'C'D'. Các cạnh bên là các đoạn thẳng song song và bằng nhau. a) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B'C^2} + \overrightarrow{DD^2} = \overrightarrow{AC^2}\): Phát biểu này không chính xác vì không có điểm \(C^2\) và \(D^2\) trong hình hộp. Có thể có sự nhầm lẫn trong ký hiệu. Nếu chúng ta giả sử \(C^2\) và \(D^2\) là các điểm khác, thì cần phải xác định rõ vị trí của chúng trong hình hộp để có thể kiểm tra tính đúng đắn của đẳng thức vectơ này. b) \(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{D'}\overrightarrow{D} + \overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BB'}\): Phát biểu này không chính xác. Để kiểm tra, ta cần phân tích từng vectơ: - \(\overrightarrow{DB}\) là vectơ từ \(D\) đến \(B\). - \(\overrightarrow{D'D}\) là vectơ từ \(D'\) đến \(D\). - \(\overrightarrow{BD'}\) là vectơ từ \(B\) đến \(D'\). Tổng của ba vectơ này không thể bằng \(\overrightarrow{BB'}\) vì \(\overrightarrow{BB'}\) là vectơ từ \(B\) đến \(B'\), chỉ có thành phần theo phương thẳng đứng (song song với cạnh bên của hình hộp). c) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{0}\): Phát biểu này đúng. Ta có thể kiểm tra như sau: - \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). - \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\). - \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB}\). - \(\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC}\). Khi cộng tất cả các vectơ này lại, ta có: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{CD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) - \overrightarrow{AB} + (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB}) - \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0} \] d) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AB}\): Phát biểu này không chính xác. Vectơ \(\overrightarrow{BB}\) là vectơ không, do đó: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{AC} \neq \overrightarrow{AB} \] Vì \(\overrightarrow{AC}\) là vectơ từ \(A\) đến \(C\), không thể bằng \(\overrightarrow{AB}\) trừ khi \(C\) trùng với \(B\), điều này không xảy ra trong hình hộp. Câu 29: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng phát biểu một cách chi tiết. (a) \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\): - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB}\). - Ta có: \(\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}\). - Do đó: \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB}\). - Xét vế phải: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\). - Ta có: \(\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}\). - Do đó: \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AC}\). - Như vậy, vế trái bằng vế phải. Phát biểu (a) là đúng. (b) \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}\): - Xét vế trái: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD}\). - Ta có: \(\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}\). - Do đó: \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} - (\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BD}) = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{BD}\). - Xét vế phải: \(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD}\). - Vế phải không thể biến đổi để bằng vế trái. - Như vậy, phát biểu (b) là sai. (c) \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AG}\) với \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\): - Trọng tâm \(G\) của tam giác \(BCD\) có tọa độ: \(\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})\). - Do đó, phát biểu (c) là sai vì \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} \neq \overrightarrow{AG}\). (d) \(\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HK}\) với \(H, K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\): - Trung điểm \(H\) của \(AB\) có tọa độ: \(\overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\). - Trung điểm \(K\) của \(AC\) có tọa độ: \(\overrightarrow{AK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\). - Vector \(\overrightarrow{HK} = \overrightarrow{AK} - \overrightarrow{AH} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB})\). - Vector \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\). - Như vậy, \(\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{HK}\) là đúng. Kết luận: - Phát biểu (a) và (d) là đúng. - Phát biểu (b) và (c) là sai. Câu 30: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phát biểu một cách chi tiết. Hình hộp ABCD.EFGH là một hình hộp chữ nhật, do đó các cạnh song song và bằng nhau. a) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GF}\). - Xét \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DH}\): Trong hình hộp, \(\overrightarrow{AD}\) là cạnh của đáy, và \(\overrightarrow{DH}\) là cạnh đứng. Tổng của hai vectơ này sẽ là vectơ từ A đến H, tức là \(\overrightarrow{AH}\). - Xét \(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GF}\): Tương tự, \(\overrightarrow{GC}\) là cạnh của đáy trên, và \(\overrightarrow{GF}\) là cạnh đứng. Tổng của hai vectơ này sẽ là vectơ từ G đến F, tức là \(\overrightarrow{GF}\). - Trong hình hộp, \(\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{GF}\) vì chúng là hai đường chéo của hai mặt song song và bằng nhau. Vậy phát biểu a) là đúng. b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}\). - Xét \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}\): \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}\), do đó biểu thức này trở thành \(-\overrightarrow{AE}\). - \(-\overrightarrow{AE}\) là vectơ từ E đến A, tức là \(\overrightarrow{EA}\). - \(\overrightarrow{AG}\) là vectơ từ A đến G. - Trong hình hộp, \(\overrightarrow{EA}\) không bằng \(\overrightarrow{AG}\) vì chúng không cùng phương và không cùng độ dài. Vậy phát biểu b) là sai. c) \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GF}\). - Xét \(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{DH}\): Đây là vectơ từ D đến H, tức là \(\overrightarrow{DH}\). - Xét \(\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GF}\): Đây là vectơ từ C đến F, tức là \(\overrightarrow{CF}\). - Trong hình hộp, \(\overrightarrow{DH}\) không bằng \(\overrightarrow{CF}\) vì chúng không cùng phương và không cùng độ dài. Vậy phát biểu c) là sai. d) \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AL}\). - Xét \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE}\): Đây là tổng của ba vectơ từ A đến D, từ A đến B, và từ A đến E. Tổng này sẽ là vectơ từ A đến L, với L là đỉnh đối diện với A trong hình hộp. - \(\overrightarrow{AL}\) là vectơ từ A đến L. - Trong hình hộp, \(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AL}\) vì chúng cùng phương và cùng độ dài. Vậy phát biểu d) là đúng. Tóm lại: - Phát biểu a) và d) là đúng. - Phát biểu b) và c) là sai. Câu 31: Để xác định điều kiện để điểm \( M \) thuộc đường thẳng \( AB \), ta cần sử dụng khái niệm về vectơ chỉ phương của đường thẳng. Đường thẳng \( AB \) có vectơ chỉ phương là \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \). Điểm \( M \) thuộc đường thẳng \( AB \) khi và chỉ khi tồn tại một số thực \( t \) sao cho: \[ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + t(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) \] hay tương đương: \[ \overrightarrow{OM} = (1-t)\overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{OB} \] Bây giờ, ta sẽ xem xét từng phát biểu: a) \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\). Phát biểu này không đúng vì nó không thể hiện được mối quan hệ tuyến tính giữa \( \overrightarrow{OM} \), \( \overrightarrow{OA} \), và \( \overrightarrow{OB} \) với một tham số \( t \). b) \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}\). Phát biểu này không đúng vì nó không thể hiện được mối quan hệ tuyến tính giữa \( \overrightarrow{OM} \), \( \overrightarrow{OA} \), và \( \overrightarrow{OB} \). Ngoài ra, \( \overrightarrow{OM} \) không thể đồng thời bằng \( \overrightarrow{OB} \) và \( \overrightarrow{BA} \). c) \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{kOA} + (1-k)\overrightarrow{OB}\). Phát biểu này đúng vì nó thể hiện được mối quan hệ tuyến tính giữa \( \overrightarrow{OM} \), \( \overrightarrow{OA} \), và \( \overrightarrow{OB} \) với tham số \( k \). Đây chính là dạng tổng quát của một điểm thuộc đường thẳng \( AB \). d) \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} = k(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})\). Phát biểu này không đúng vì nó không thể hiện được mối quan hệ tuyến tính giữa \( \overrightarrow{OM} \), \( \overrightarrow{OA} \), và \( \overrightarrow{OB} \). Ngoài ra, \( \overrightarrow{OM} \) không thể đồng thời bằng \( \overrightarrow{OB} \) và một vectơ khác. Kết luận: Phát biểu đúng là c) \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{kOA} + (1-k)\overrightarrow{OB}\). Câu 32: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích vị trí của điểm M trong hình hộp ABCD.A'B'C'D' dựa trên các vectơ đã cho. 1. Xác định vị trí của điểm O: Tâm O của hình hộp là trung điểm của đoạn nối hai đỉnh đối diện nhau, ví dụ như A và C'. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{O} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{C'}) \] 2. Xác định vị trí của điểm M: Theo đề bài, điểm M được xác định bởi: \[ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \] Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{M} = \overrightarrow{O} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}) \] 3. Phân tích từng lựa chọn: a) M là tâm hình bình hành ABB'A': - Hình bình hành ABB'A' có tâm là trung điểm của đoạn nối hai đường chéo. Đường chéo của hình bình hành này là AA' và BB'. - Trung điểm của AA' là \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{A'})\). - Trung điểm của BB' là \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{B'})\). - Tâm của hình bình hành ABB'A' là trung điểm của hai trung điểm trên, không trùng với M. b) M là tâm hình bình hành BCC'B': - Hình bình hành BCC'B' có tâm là trung điểm của đoạn nối hai đường chéo. Đường chéo của hình bình hành này là BC và B'C'. - Trung điểm của BC là \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})\). - Trung điểm của B'C' là \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{B'} + \overrightarrow{C'})\). - Tâm của hình bình hành BCC'B' là trung điểm của hai trung điểm trên, không trùng với M. c) M là trung điểm BB': - Trung điểm của BB' là \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{B'})\). - So sánh với \(\overrightarrow{M} = \overrightarrow{O} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})\), ta thấy không trùng với trung điểm BB'. d) M là trung điểm CC': - Trung điểm của CC' là \(\frac{1}{2}(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{C'})\). - So sánh với \(\overrightarrow{M} = \overrightarrow{O} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b})\), ta thấy không trùng với trung điểm CC'. Kết luận: Không có lựa chọn nào trong các đáp án a), b), c), d) là đúng với vị trí của điểm M đã xác định. Câu 33: Để giải bài toán này, ta cần phân tích các vectơ trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). 1. Xác định các vectơ: - \(\overrightarrow{D'D}\) là vectơ từ \(D'\) đến \(D\). - \(\overrightarrow{BD'}\) là vectơ từ \(B\) đến \(D'\). - \(\overrightarrow{BB'}\) là vectơ từ \(B\) đến \(B'\). 2. Biểu diễn các vectơ: Giả sử cạnh của hình lập phương là \(a\). - \(\overrightarrow{D'D} = \overrightarrow{DD'} = -a\overrightarrow{k}\) (vì \(D'\) và \(D\) nằm trên cùng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy). - \(\overrightarrow{BD'} = \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{B'D'} = a\overrightarrow{k} + a\overrightarrow{i}\). 3. Tính toán: Ta có: \[ \overrightarrow{D'D} - \overrightarrow{BD'} = -a\overrightarrow{k} - (a\overrightarrow{k} + a\overrightarrow{i}) = -2a\overrightarrow{k} - a\overrightarrow{i} \] Ta cần tìm \(k\) sao cho: \[ -2a\overrightarrow{k} - a\overrightarrow{i} = \overrightarrow{kBB'} \] Biểu diễn \(\overrightarrow{kBB'}\): \[ \overrightarrow{kBB'} = ka\overrightarrow{k} \] So sánh hai vế, ta có: \[ -2a\overrightarrow{k} - a\overrightarrow{i} = ka\overrightarrow{k} \] Từ đó, ta suy ra: \[ k = -2 \] Vậy số nguyên \(k\) thích hợp là \(-2\). Câu 34: Để tìm giá trị của \( k \) sao cho \(\overrightarrow{MN} = k(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vectơ trung điểm: - Gọi \( \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{C}, \overrightarrow{D} \) là các vectơ vị trí của các điểm \( A, B, C, D \). - Trung điểm \( M \) của \( AB \) có vectơ vị trí: \[ \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} \] - Trung điểm \( N \) của \( CD \) có vectơ vị trí: \[ \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2} \] 2. Tính vectơ \(\overrightarrow{MN}\): \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \left(\frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}\right) - \left(\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}\right) \] \[ \overrightarrow{MN} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{2} \] 3. Biểu diễn \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\): \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} \] \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} \] 4. Thiết lập phương trình: Từ \(\overrightarrow{MN} = k(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})\), ta có: \[ \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{2} = k(\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) \] 5. Giải phương trình: So sánh hai vế, ta có: \[ \frac{1}{2} = k \] Vậy, giá trị của \( k \) là \( \frac{1}{2} \).