Giup mionvoi

Câu 38: Để giải bài toán này, ta cần tìm số nguyên \( k \) sao cho: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = k\overrightarrow{AO} \] Bước 1: Xác định các vectơ trong hình lập phương Giả sử cạnh của hình lập phương là \( a \). Ta có thể chọn hệ trục tọa độ sao cho: - \( A(0, 0, 0) \) - \( B(a, 0, 0) \) - \( D(0, a, 0) \) - \( A'(0, 0, a) \) Tâm \( O \) của hình lập phương có tọa độ: \[ O\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \] Bước 2: Biểu diễn các vectơ - \(\overrightarrow{AB} = (a, 0, 0)\) - \(\overrightarrow{AD} = (0, a, 0)\) - \(\overrightarrow{AA'} = (0, 0, a)\) Bước 3: Tổng các vectơ \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = (a, 0, 0) + (0, a, 0) + (0, 0, a) = (a, a, a) \] Bước 4: Biểu diễn \(\overrightarrow{AO}\) \[ \overrightarrow{AO} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \] Bước 5: Tìm \( k \) sao cho \[ (a, a, a) = k\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, \frac{a}{2}\right) \] Giải phương trình vectơ: \[ (a, a, a) = \left(\frac{ka}{2}, \frac{ka}{2}, \frac{ka}{2}\right) \] Từ đó, ta có hệ phương trình: \[ a = \frac{ka}{2} \] Giải phương trình này, ta được: \[ k = 2 \] Vậy số nguyên \( k \) cần tìm là \( 2 \). Câu 26: Để giải bài toán này, ta cần phân tích và biểu diễn các vectơ trong hình hộp theo các vectơ cơ sở. Trước tiên, ta cần hiểu rõ cấu trúc của hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Bước 1: Phân tích các vectơ trong hình hộp Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta có các vectơ cơ sở là: - $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, và $\overrightarrow{AA'}$. Các vectơ này có thể được sử dụng để biểu diễn các vectơ khác trong hình hộp. Bước 2: Biểu diễn các vectơ theo các vectơ cơ sở 1. Vectơ $\overrightarrow{AC}$: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] 2. Vectơ $\overrightarrow{BA}$: \[ \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \] 3. Vectơ $\overrightarrow{DB}$: \[ \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} \] 4. Vectơ $\overrightarrow{C'D}$: \[ \overrightarrow{C'D} = \overrightarrow{C'A} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD} \] Bước 3: Thay vào phương trình vectơ Thay các biểu diễn trên vào phương trình: \[ \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} + k(\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C'D}) = \overrightarrow{0} \] Thay các biểu thức đã tìm được: \[ (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + (-\overrightarrow{AB}) + k((- \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}) + (-\overrightarrow{AA'} + \overrightarrow{AD})) = \overrightarrow{0} \] Rút gọn: \[ \overrightarrow{AD} + k(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AA'}) = \overrightarrow{0} \] Bước 4: Phân tích và tìm giá trị của \( k \) Để phương trình trên bằng vectơ không, ta cần: - Hệ số của mỗi vectơ phải bằng 0. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AD} + k\overrightarrow{AB} - k\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{0} \] Điều này dẫn đến hệ phương trình: 1. \( 1 + k = 0 \) (hệ số của \(\overrightarrow{AD}\)) 2. \( k = 0 \) (hệ số của \(\overrightarrow{AB}\)) 3. \( -k = 0 \) (hệ số của \(\overrightarrow{AA'}\)) Từ phương trình 2 và 3, ta có \( k = 0 \). Kết luận Giá trị nguyên \( k \) thích hợp là \( k = 0 \). Bài 10: Để giải bài toán này, chúng ta cần biểu diễn các vectơ trong hình lăng trụ tam giác qua các vectơ đã cho: \(\overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}\), và \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}\). a) Biểu diễn \(\overrightarrow{AB^\prime}\) Vectơ \(\overrightarrow{AB^\prime}\) có thể được biểu diễn như sau: \[ \overrightarrow{AB^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB^\prime} \] Trong đó, \(\overrightarrow{BB^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{a}\) (vì \(BB^\prime\) song song và bằng \(AA^\prime\) trong hình lăng trụ). Do đó: \[ \overrightarrow{AB^\prime} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \] b) Biểu diễn \(\overrightarrow{B^\prime C}\) Vectơ \(\overrightarrow{B^\prime C}\) có thể được biểu diễn như sau: \[ \overrightarrow{B^\prime C} = \overrightarrow{B^\prime B} + \overrightarrow{BC} \] Trong đó, \(\overrightarrow{B^\prime B} = -\overrightarrow{a}\) (vì \(B^\prime B\) là ngược hướng với \(BB^\prime\)). Do đó: \[ \overrightarrow{B^\prime C} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{BC} \] c) Biểu diễn \(\overrightarrow{BC}\) Vectơ \(\overrightarrow{BC}\) có thể được biểu diễn như sau: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \] Trong đó, \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{b}\). Do đó: \[ \overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \] Tóm lại, các vectơ được biểu diễn như sau: - \(\overrightarrow{AB^\prime} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a}\) - \(\overrightarrow{B^\prime C} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{BC}\) - \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}\) Bài 11: Để chứng minh đẳng thức vector \(\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Biểu diễn vector \(\overrightarrow{MN}\): - Trên cạnh \(SA\), điểm \(M\) được chọn sao cho \(SM = 2AM\). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{SM} = 2\overrightarrow{AM} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{3}\overrightarrow{SA} \] và \[ \overrightarrow{SM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{SA} \] - Trên cạnh \(BC\), điểm \(N\) được chọn sao cho \(CN = 2BN\). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{CN} = 2\overrightarrow{BN} \] Suy ra: \[ \overrightarrow{BN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \] và \[ \overrightarrow{CN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{BC} \] 2. Biểu diễn vector \(\overrightarrow{MN}\): - Ta có: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} \] - Biểu diễn \(\overrightarrow{MA}\): \[ \overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{SA} \] - Biểu diễn \(\overrightarrow{AN}\): \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \] - Kết hợp lại, ta có: \[ \overrightarrow{MN} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \] 3. Chứng minh đẳng thức: - Ta cần chứng minh: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB} \] - Thay biểu thức đã tìm được cho \(\overrightarrow{MN}\): \[ -\frac{1}{3}\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB} \] - Rút gọn: \[ -\frac{1}{3}\overrightarrow{SA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{SA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \] - Điều này đúng vì: \[ -\frac{1}{3}\overrightarrow{SA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{SA} = 0 \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{BC}) + \overrightarrow{AB} \] Bài 12: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của vectơ trong hình học không gian. Hình hộp ABCD.EFGH là một hình hộp chữ nhật, do đó các cạnh đối diện của nó song song và bằng nhau. a) Tính $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}$ 1. Xét vectơ $\overrightarrow{DA}$: - Vectơ $\overrightarrow{DA}$ là vectơ từ điểm D đến điểm A. 2. Xét vectơ $\overrightarrow{DC}$: - Vectơ $\overrightarrow{DC}$ là vectơ từ điểm D đến điểm C. 3. Xét vectơ $\overrightarrow{DH}$: - Vectơ $\overrightarrow{DH}$ là vectơ từ điểm D đến điểm H. 4. Tổng các vectơ: - Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AC}$. - Tiếp tục, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AH}$ (vì $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DH}$ là hai cạnh của hình hộp). Vậy, $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{AH}$. b) Tính $\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AB}$ 1. Xét vectơ $\overrightarrow{HE}$: - Vectơ $\overrightarrow{HE}$ là vectơ từ điểm H đến điểm E. 2. Xét vectơ $\overrightarrow{GC}$: - Vectơ $\overrightarrow{GC}$ là vectơ từ điểm G đến điểm C. 3. Xét vectơ $\overrightarrow{AB}$: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ là vectơ từ điểm A đến điểm B. 4. Tổng các vectơ: - Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\overrightarrow{HE} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{HC}$ (vì $\overrightarrow{HE}$ và $\overrightarrow{GC}$ là hai cạnh của hình hộp). - Tiếp tục, $\overrightarrow{HC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{HB}$ (vì $\overrightarrow{HC}$ và $\overrightarrow{AB}$ là hai cạnh của hình hộp). Vậy, $\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{HB}$. Như vậy, chúng ta đã thực hiện các phép toán vectơ trong hình hộp ABCD.EFGH một cách chi tiết và chính xác. Bài 13: Để chứng minh đẳng thức \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định trọng tâm G của tam giác BCD: Trọng tâm G của tam giác BCD là điểm thỏa mãn: \[ \overrightarrow{BG} + \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{DG} = \overrightarrow{0} \] và \[ \overrightarrow{G} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) \] 2. Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AD}\) thông qua \(\overrightarrow{A}\), \(\overrightarrow{B}\), \(\overrightarrow{C}\), \(\overrightarrow{D}\): Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} \] 3. Tính tổng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}\): \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) \] \[ = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - 3\overrightarrow{A} \] 4. Biểu diễn \(\overrightarrow{3\overrightarrow{AG}}\): Từ \(\overrightarrow{G} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D})\), ta có: \[ \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) - \overrightarrow{A} \] \[ \Rightarrow 3\overrightarrow{AG} = 3\left(\frac{1}{3}(\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}) - \overrightarrow{A}\right) \] \[ = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - 3\overrightarrow{A} \] 5. Kết luận: Từ các bước trên, ta thấy: \[ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - 3\overrightarrow{A} = 3\overrightarrow{AG} \] Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}\). Bài 14: Để chứng minh các đẳng thức vectơ trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', ta cần sử dụng các tính chất của vectơ và hình hộp. Hình hộp là một hình không gian có các mặt là hình bình hành, do đó các cạnh đối diện song song và bằng nhau. a) Chứng minh $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B^\prime C^\prime} + \overrightarrow{DD^\prime} = \overrightarrow{AC}$: - Trong hình hộp, $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{C^\prime D^\prime}$ và $\overrightarrow{B^\prime C^\prime} = \overrightarrow{AD}$ do các cạnh đối diện của hình hộp bằng nhau và song song. - Ta có $\overrightarrow{DD^\prime} = \overrightarrow{C^\prime C}$ vì $DD^\prime$ và $C^\prime C$ là các cạnh song song và bằng nhau. - Do đó, $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B^\prime C^\prime} + \overrightarrow{DD^\prime} = \overrightarrow{C^\prime D^\prime} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{C^\prime C}$. - Theo tính chất của hình bình hành, $\overrightarrow{C^\prime D^\prime} + \overrightarrow{C^\prime C} = \overrightarrow{D^\prime C}$. - Vậy $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{B^\prime C^\prime} + \overrightarrow{DD^\prime} = \overrightarrow{D^\prime C} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$. b) Chứng minh $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{D^\prime D} + \overrightarrow{BD^\prime} = \overrightarrow{BB}$: - Ta có $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DB}$, $\overrightarrow{D^\prime D} = \overrightarrow{C^\prime C}$ và $\overrightarrow{BD^\prime} = \overrightarrow{BC^\prime}$. - Do đó, $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{D^\prime D} + \overrightarrow{BD^\prime} = \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C^\prime C} + \overrightarrow{BC^\prime}$. - Theo tính chất của hình bình hành, $\overrightarrow{C^\prime C} + \overrightarrow{BC^\prime} = \overrightarrow{BB}$. - Vậy $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{D^\prime D} + \overrightarrow{BD^\prime} = \overrightarrow{BB}$. c) Chứng minh $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C^\prime D} = \overrightarrow{0}$: - Ta có $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$. - Do đó, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA}$. - Vì $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, nên $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{BC}$. - Tiếp theo, $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB}$. - Do đó, $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C^\prime D} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{C^\prime D}$. - Vì $\overrightarrow{C^\prime D} = -\overrightarrow{DC}$, nên $\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C^\prime D} = \overrightarrow{CB}$. - Vậy $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{C^\prime D} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{0}$. Như vậy, các đẳng thức vectơ đã được chứng minh. Bài 15: Để biểu diễn vector \(\overrightarrow{AM}\) theo \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Xác định vector \(\overrightarrow{BG}\): Trong hình hộp, ta có: \[ \overrightarrow{BG} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FG} \] Do \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{c}\), \(\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{b}\), và \(\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{a}\), ta có: \[ \overrightarrow{BG} = -\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} \] 2. Xác định vector \(\overrightarrow{BM}\): Vì M là trung điểm của đoạn BG, nên: \[ \overrightarrow{BM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BG} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \] 3. Xác định vector \(\overrightarrow{AM}\): Ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} \] Thay các giá trị đã biết vào, ta được: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) \] Vậy, vector \(\overrightarrow{AM}\) được biểu diễn theo \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\), \(\overrightarrow{c}\) là: \[ \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} + \frac{1}{2} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{c} \] Bài 16: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và các phép toán vectơ. a) Chứng minh $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CN}$ là hai vectơ đối nhau: 1. Vì M là trung điểm của AB, nên ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} \] 2. Vì N là trung điểm của CD, nên ta có: \[ \overrightarrow{CN} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} \] 3. Do ABCD là hình bình hành, nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$. 4. Từ đó, ta có: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CN} \] 5. Vậy, $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CN}$ là hai vectơ đối nhau. b) Chứng minh $\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SA}$: 1. Ta có: \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \] 2. Thay $\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{AM}$ (từ phần a) vào phương trình trên, ta có: \[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AM} \] 3. Xét biểu thức cần chứng minh: \[ \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} \] 4. Thay $\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AM}$ vào, ta có: \[ \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AM}) = \overrightarrow{SC} - 2\overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AC} \] 5. Do $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, ta có: \[ 2\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \] 6. Thay vào biểu thức, ta có: \[ \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{SA} \] 7. Do $\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD}$ (tính chất của hình bình hành), ta có: \[ \overrightarrow{SC} - \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{SA} \] 8. Vậy, $\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SA}$. Như vậy, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán. Bài 17: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Biểu diễn các vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{DE}\) theo \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AF}\). Bước 1: Biểu diễn \(\overrightarrow{M}\) và \(\overrightarrow{N}\) - Điểm \(M\) nằm trên đường chéo \(AC\) của hình bình hành \(ABCD\) sao cho \(MC = 2MA\). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{M} = \overrightarrow{A} + \frac{1}{3} \overrightarrow{C} \] Vì \(C = A + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}\), nên: \[ \overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] Thay vào biểu thức của \(\overrightarrow{M}\): \[ \overrightarrow{M} = \overrightarrow{A} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \overrightarrow{A} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} \] - Điểm \(N\) nằm trên đường chéo \(BF\) của hình bình hành \(ABEF\) sao cho \(NF = 2NB\). Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{N} = \overrightarrow{B} + \frac{1}{3} \overrightarrow{F} \] Vì \(F = B + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF}\), nên: \[ \overrightarrow{F} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{AF} \] Thay vào biểu thức của \(\overrightarrow{N}\): \[ \overrightarrow{N} = \overrightarrow{B} + \frac{1}{3} (\overrightarrow{B} + \overrightarrow{AF}) = \overrightarrow{B} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AF} \] Bước 2: Biểu diễn \(\overrightarrow{MN}\) \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} = \left(\overrightarrow{B} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AF}\right) - \left(\overrightarrow{A} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AD}\right) \] \[ = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AF} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} \] \[ = \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AF} \] \[ = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AF} \] Bước 3: Biểu diễn \(\overrightarrow{DE}\) Vì \(DE\) là cạnh của hình bình hành \(ABEF\), ta có: \[ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AD} \] b) Chứng minh \(MN // DE\) Để chứng minh hai vectơ \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{DE}\) song song, ta cần chỉ ra rằng chúng tỉ lệ với nhau. Từ các biểu thức đã tìm được: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} - \frac{1}{3} \overrightarrow{AD} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AF} \] \[ \overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AD} \] Ta thấy: \[ \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3} \overrightarrow{DE} \] Do đó, \(\overrightarrow{MN}\) và \(\overrightarrow{DE}\) là hai vectơ cùng phương, nên \(MN // DE\). Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(MN // DE\). Bài 18: Để chứng minh đẳng thức vector $2\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+2\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=3(\overrightarrow{SI}+\overrightarrow{SJ})$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm biểu thức vector của $\overrightarrow{SI}$: Gọi $G_1$ là trọng tâm của tam giác $ABC$. Theo định nghĩa trọng tâm, ta có: \[ \overrightarrow{IG_1} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{IC}) \] Do $I$ là trong tâm của tam giác $ABC$, nên $I$ trùng với $G_1$. Do đó: \[ \overrightarrow{SI} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}) \] 2. Tìm biểu thức vector của $\overrightarrow{SJ}$: Gọi $G_2$ là trọng tâm của tam giác $ADC$. Theo định nghĩa trọng tâm, ta có: \[ \overrightarrow{JG_2} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{JA} + \overrightarrow{JD} + \overrightarrow{JC}) \] Do $J$ là trọng tâm của tam giác $ADC$, nên $J$ trùng với $G_2$. Do đó: \[ \overrightarrow{SJ} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{SC}) \] 3. Tính $3(\overrightarrow{SI} + \overrightarrow{SJ})$: Thay các biểu thức đã tìm được vào, ta có: \[ 3(\overrightarrow{SI} + \overrightarrow{SJ}) = 3\left(\frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}) + \frac{1}{3}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{SC})\right) \] \[ = (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SC}) + (\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{SC}) \] \[ = 2\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} \] 4. Kết luận: Từ các bước trên, ta thấy rằng: \[ 2\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SB} + 2\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{SD} = 3(\overrightarrow{SI} + \overrightarrow{SJ}) \] Vậy đẳng thức đã được chứng minh.