Giuo mik voi

Bài 19: Để giải bài toán này, ta cần tính trọng lượng của chiếc xe ô tô dựa vào các lực căng của dây cáp và trọng lượng của khung sắt. Bước 1: Phân tích lực Các dây cáp \( EA, EB, EC, ED \) đều có độ dài bằng nhau và tạo với mặt phẳng \( (ABCD) \) một góc \( 60^\circ \). Mỗi dây cáp có lực căng là 4700 N. Bước 2: Tính lực căng theo phương thẳng đứng Do các dây cáp tạo với mặt phẳng \( (ABCD) \) một góc \( 60^\circ \), nên lực căng theo phương thẳng đứng của mỗi dây cáp là: \[ F_{\text{vertical}} = F \cdot \cos(60^\circ) = 4700 \cdot \frac{1}{2} = 2350 \, \text{N} \] Bước 3: Tổng lực căng theo phương thẳng đứng Vì có 4 dây cáp, tổng lực căng theo phương thẳng đứng là: \[ F_{\text{total vertical}} = 4 \cdot 2350 = 9400 \, \text{N} \] Bước 4: Tính trọng lượng của chiếc xe ô tô Tổng lực căng theo phương thẳng đứng phải cân bằng với tổng trọng lượng của khung sắt và chiếc xe ô tô. Do đó, ta có phương trình: \[ 9400 = W_{\text{khung sắt}} + W_{\text{xe ô tô}} \] Biết rằng trọng lượng của khung sắt là 3000 N, ta có: \[ 9400 = 3000 + W_{\text{xe ô tô}} \] Giải phương trình trên, ta tìm được: \[ W_{\text{xe ô tô}} = 9400 - 3000 = 6400 \, \text{N} \] Vậy, trọng lượng của chiếc xe ô tô là 6400 N. Bài 20: Để giải thích tại sao ba sợi dây không giãn với khối lượng không đáng kể, khi được kéo căng về ba hướng khác nhau và ở trạng thái đứng yên, lại nằm trên cùng một mặt phẳng, ta có thể sử dụng nguyên lý cân bằng lực trong vật lý. Lập luận: 1. Nguyên lý cân bằng lực: - Khi một vật ở trạng thái đứng yên, tổng hợp lực tác dụng lên vật đó phải bằng không. Điều này có nghĩa là các lực tác dụng lên vật phải cân bằng nhau. 2. Phân tích lực: - Giả sử ba lực tác dụng lên điểm chung của ba sợi dây là \(\vec{F_1}\), \(\vec{F_2}\), và \(\vec{F_3}\). - Theo điều kiện cân bằng, ta có: \[ \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0} \] 3. Tính chất của vectơ: - Ba vectơ \(\vec{F_1}\), \(\vec{F_2}\), và \(\vec{F_3}\) có tổng bằng không chỉ khi chúng đồng phẳng. Điều này có nghĩa là chúng nằm trên cùng một mặt phẳng. 4. Kết luận: - Do các lực \(\vec{F_1}\), \(\vec{F_2}\), và \(\vec{F_3}\) cân bằng nhau và có tổng bằng không, nên chúng phải nằm trên cùng một mặt phẳng. Vì vậy, ba sợi dây cũng nằm trên cùng một mặt phẳng. Như vậy, khi ba sợi dây được kéo căng và ở trạng thái đứng yên, chúng phải nằm trên cùng một mặt phẳng để đảm bảo điều kiện cân bằng lực. Bài 21: Để chứng minh các đẳng thức vector trong hình lăng trụ tam giác \( ABC.A'B'C' \), ta cần hiểu rõ cấu trúc của hình lăng trụ và cách biểu diễn các vector trong không gian. Bước 1: Xác định vector \(\overrightarrow{BC}\) Trong hình lăng trụ tam giác, các điểm \( A, B, C \) nằm trên cùng một mặt phẳng đáy. Vector \(\overrightarrow{BC}\) có thể được biểu diễn thông qua các vector \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\). Ta có: \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \] Với: - \(\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}\) - \(\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}\) Do đó: \[ \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) - (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{b} \] Bước 2: Xác định vector \(\overrightarrow{NC}\) Giả sử \( N \) là trung điểm của đoạn \( BC \), ta có: \[ \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{ON} \] Với \( N \) là trung điểm của \( BC \), ta có: \[ \overrightarrow{ON} = \frac{\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}}{2} \] Thay vào các giá trị đã biết: \[ \overrightarrow{ON} = \frac{(\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) + (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c})}{2} = \frac{2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{2} \] Do đó: \[ \overrightarrow{NC} = (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) - \frac{2\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{2} \] Rút gọn: \[ \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{c} - \left(\overrightarrow{a} + \frac{\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}}{2}\right) = \frac{\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}}{2} \] Bước 3: Xác định \(\overrightarrow{DN}\) Giả sử \( D \) là điểm trên đoạn \( BC \) sao cho \(\overrightarrow{NC} = 2\overrightarrow{DN}\), ta có: \[ \overrightarrow{DN} = \frac{\overrightarrow{NC}}{2} = \frac{\frac{\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}}{2}}{2} = \frac{\overrightarrow{c} - \overrightarrow{b}}{4} \] Kết luận Từ các bước trên, ta đã chứng minh được các đẳng thức vector trong hình lăng trụ tam giác \( ABC.A'B'C' \). Các vector được biểu diễn chính xác theo các vector đã cho. Bài 22: Để giải bài toán này, ta cần tìm biểu thức của vector \(\overrightarrow{MN}\) theo các vector \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\). Bước 1: Tìm tọa độ của điểm M Từ điều kiện \(\overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{0}\), ta có: \[ \overrightarrow{MB} = -2\overrightarrow{MA} \] Điều này có nghĩa là: \[ \overrightarrow{M} = \overrightarrow{B} - 2(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) \] Giải phương trình trên, ta có: \[ \overrightarrow{M} = \frac{2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{3} \] Bước 2: Tìm tọa độ của điểm N Tương tự, ta cần tìm điều kiện cho điểm N. Tuy nhiên, bài toán không cung cấp điều kiện trực tiếp cho N, nên ta giả sử N là một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng nối hai điểm nào đó, ví dụ như: \[ \overrightarrow{N} = \alpha \overrightarrow{D} + (1-\alpha) \overrightarrow{C} \] với \(\alpha\) là một tham số tùy ý. Bước 3: Diễn tả \(\overrightarrow{MN}\) theo \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\) Ta có: \[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{M} \] Thay các biểu thức của \(\overrightarrow{M}\) và \(\overrightarrow{N}\) vào, ta được: \[ \overrightarrow{MN} = \left(\alpha \overrightarrow{D} + (1-\alpha) \overrightarrow{C}\right) - \left(\frac{2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{3}\right) \] Rút gọn biểu thức trên: \[ \overrightarrow{MN} = \alpha \overrightarrow{D} + (1-\alpha) \overrightarrow{C} - \frac{2}{3}\overrightarrow{A} - \frac{1}{3}\overrightarrow{B} \] Sắp xếp lại theo \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{MN} = \alpha \overrightarrow{AD} + (1-\alpha) \overrightarrow{BC} - \frac{2}{3} \overrightarrow{A} - \frac{1}{3} \overrightarrow{B} \] Vì \(\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}\) và \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}\), ta có thể viết lại: \[ \overrightarrow{MN} = \alpha (\overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}) + (1-\alpha) (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) - \frac{2}{3} \overrightarrow{A} - \frac{1}{3} \overrightarrow{B} \] Cuối cùng, ta có biểu thức của \(\overrightarrow{MN}\) theo \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{BC}\). Bài 23: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Biểu diễn \(\overrightarrow{AC}\) theo \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{AA'}\). Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, ta có: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \] Vì \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\) (do BC song song và bằng AD), nên: \[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} \] b) Chứng tỏ ba điểm A, G và C' thẳng hàng. Trước tiên, ta cần xác định vị trí của điểm G, trọng tâm của tam giác BDA'. Trọng tâm G của tam giác BDA' được xác định bởi: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OA'}) \] Với \(O\) là gốc tọa độ, ta có: \[ \overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AA'}) \] \[ = \frac{1}{3}(3\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) \] \[ = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) \] Bây giờ, ta cần chứng minh ba điểm A, G và C' thẳng hàng. Để làm điều này, ta biểu diễn \(\overrightarrow{OC'}\): \[ \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} \] Vì \(CC' = AA'\), ta có: \[ \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] So sánh \(\overrightarrow{OG}\) và \(\overrightarrow{OC'}\), ta thấy: \[ \overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}) \] \[ \overrightarrow{OC'} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} \] Rõ ràng, \(\overrightarrow{OG}\) là một phần của \(\overrightarrow{OC'}\), cụ thể là: \[ \overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{OC'} - \overrightarrow{OA}) \] Điều này chứng tỏ rằng G nằm trên đoạn thẳng nối A và C', do đó ba điểm A, G và C' thẳng hàng. Bài 24: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích các vectơ lực tác dụng lên bàn và các phản lực từ mặt sàn. a) Mối quan hệ về phương và hướng của các vectơ \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} \) 1. Vectơ trọng lực \( \vec{a} \): - Vectơ \( \vec{a} \) biểu thị trọng lực tác dụng lên bàn, có phương thẳng đứng và hướng xuống dưới. 2. Vectơ phản lực \( \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} \): - Các vectơ \( \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} \) biểu thị phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn. - Phản lực luôn có phương thẳng đứng và hướng lên trên, ngược chiều với trọng lực. b) Giải thích vì sao các vectơ \( \vec{b}, \vec{c}, \vec{d} \) bằng nhau 1. Cân bằng lực: - Bàn cân đối và nằm ngang, do đó tổng các phản lực từ mặt sàn phải cân bằng với trọng lực tác dụng lên bàn. - Tổng các vectơ phản lực: \( \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} + \vec{e} = \vec{a} \). 2. Phân bố đều: - Vì bàn cân đối và các chân bàn đều nhau, nên trọng lực được phân bố đều qua bốn chân bàn. - Do đó, các phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn là như nhau: \( \vec{b} = \vec{c} = \vec{d} = \vec{e} \). 3. Kết luận: - Các vectơ \( \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{e} \) đều có cùng độ lớn và cùng phương, hướng ngược với trọng lực \( \vec{a} \). Như vậy, các vectơ phản lực từ mặt sàn lên các chân bàn đều bằng nhau về độ lớn và có phương thẳng đứng, hướng lên trên.