giải chi tiết ngắn gọn giúp mình hiểu với ạ

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định tổng số cách lấy ra một cây bút từ hộp bút. Trong hộp bút có: - 3 cây bút đỏ - 4 cây bút xanh Tổng số cây bút trong hộp bút là: \[ 3 + 4 = 7 \] Vậy, có 7 cách lấy ra một cây bút từ hộp bút. Đáp án đúng là: D. 7. Câu 2: Để tìm tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức tính tọa độ trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm \( A(x_1, y_1) \) và \( B(x_2, y_2) \): \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Với \( A(1, 1) \) và \( B(2, -2) \), ta có: - \( x_1 = 1 \), \( y_1 = 1 \) - \( x_2 = 2 \), \( y_2 = -2 \) Áp dụng công thức: \[ M\left(\frac{1 + 2}{2}, \frac{1 + (-2)}{2}\right) = M\left(\frac{3}{2}, \frac{-1}{2}\right) \] Vậy tọa độ trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \) là \( \left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right) \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right) \). Câu 3: Để tìm số hạng trong khai triển nhị thức Niu-Tơn của \((2 - 3x)^4\), ta sử dụng công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn: \[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k \] Trong trường hợp này, \(a = 2\), \(b = -3x\), và \(n = 4\). Số hạng tổng quát trong khai triển sẽ là: \[ \binom{4}{k} (2)^{4-k} (-3x)^k \] Số hạng này tồn tại cho mỗi giá trị \(k\) từ 0 đến 4. Do đó, ta có các giá trị \(k\) là 0, 1, 2, 3, và 4. Điều này cho thấy có 5 số hạng trong khai triển. Vậy, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-Tơn của \((2 - 3x)^4\) là 5. Đáp án đúng là: C. 5. Câu 4: Để tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: x - 2y + 1 = 0\), ta cần nhớ rằng một vectơ pháp tuyến của đường thẳng có dạng \(ax + by + c = 0\) là \((a; b)\). Trong phương trình của đường thẳng \(d: x - 2y + 1 = 0\), ta có: - Hệ số của \(x\) là \(a = 1\). - Hệ số của \(y\) là \(b = -2\). Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \((1; -2)\). Bây giờ, ta sẽ xem xét các đáp án để tìm ra đáp án đúng: - \(\textcircled{A.}~\frac{r}{n_2}(1; -2)\): Đây là vectơ \((1; -2)\) nhân với một hằng số \(\frac{r}{n_2}\), nên vẫn là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\). - \(B.~\frac{r}{n_4}(2; 1)\): Đây là vectơ \((2; 1)\), không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\). - \(C.~\overset{r}{n_1}(0; -2)\): Đây là vectơ \((0; -2)\), không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\). - \(D.~\overset{r}{n_3}(-2; 0)\): Đây là vectơ \((-2; 0)\), không phải là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\). Vậy đáp án đúng là \(\textcircled{A.}~\frac{r}{n_2}(1; -2)\). Câu 5: Để tính số trung bình cộng của điểm thi, ta sử dụng công thức: \[ \overline{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i} \] Trong đó: - \( x_i \) là các giá trị điểm số. - \( f_i \) là tần số tương ứng với mỗi giá trị điểm số. Ta có bảng dữ liệu như sau: | Điểm (\( x_i \)) | Tần số (\( f_i \)) | |------------------|--------------------| | 9 | 1 | | 10 | 1 | | 11 | 3 | | 12 | 5 | | 13 | 8 | | 14 | 13 | | 15 | 19 | | 16 | 24 | | 17 | 14 | | 18 | 10 | | 19 | 2 | Bây giờ, ta tính tổng \( \sum (x_i \cdot f_i) \): \[ \begin{align} 9 \cdot 1 &= 9 \\ 10 \cdot 1 &= 10 \\ 11 \cdot 3 &= 33 \\ 12 \cdot 5 &= 60 \\ 13 \cdot 8 &= 104 \\ 14 \cdot 13 &= 182 \\ 15 \cdot 19 &= 285 \\ 16 \cdot 24 &= 384 \\ 17 \cdot 14 &= 238 \\ 18 \cdot 10 &= 180 \\ 19 \cdot 2 &= 38 \\ \end{align} \] Tổng \( \sum (x_i \cdot f_i) \): \[ 9 + 10 + 33 + 60 + 104 + 182 + 285 + 384 + 238 + 180 + 38 = 1523 \] Tổng tần số \( \sum f_i \): \[ 1 + 1 + 3 + 5 + 8 + 13 + 19 + 24 + 14 + 10 + 2 = 100 \] Số trung bình cộng \( \overline{x} \): \[ \overline{x} = \frac{1523}{100} = 15,23 \] Vậy số trung bình cộng là: \[ C.~\overline{x} = 15,23 \] Câu 6: Để xác định bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta cần kiểm tra từng phương án: A. \(3x - y > 13\) Phương trình này có dạng tổng quát của bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(Ax + By > C\), trong đó \(A = 3\), \(B = -1\), và \(C = 13\). Đây là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn. B. \(3x^2 - y > 13\) Phương trình này có chứa \(x^2\), tức là biến \(x\) có bậc 2. Do đó, đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. C. \(3x - y + 2z \leq 0\) Phương trình này có ba biến \(x\), \(y\), và \(z\). Do đó, đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. D. \(3x^2 + 2x - 5 < 0\) Phương trình này có chứa \(x^2\), tức là biến \(x\) có bậc 2. Do đó, đây không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: \[ \boxed{\textcircled{A}} \] Câu 7: Để giải bài toán này, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức \( T = \cos 60^\circ + \cos 180^\circ \). Bước 1: Xác định giá trị của \(\cos 60^\circ\). - Theo bảng giá trị lượng giác cơ bản, \(\cos 60^\circ = \frac{1}{2}\). Bước 2: Xác định giá trị của \(\cos 180^\circ\). - Cũng theo bảng giá trị lượng giác cơ bản, \(\cos 180^\circ = -1\). Bước 3: Tính tổng của hai giá trị đã tìm được. \[ T = \cos 60^\circ + \cos 180^\circ = \frac{1}{2} + (-1) = \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{1}{2} \] Vậy giá trị của biểu thức \( T \) là \(-\frac{1}{2}\). Đáp án đúng là: \[ \boxed{\textcircled{B}} \] Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác. Định lý cosin cho biết: Trong tam giác \(ABC\), với các cạnh \(BC = a\), \(AC = b\), \(AB = c\), các công thức sau đây đúng: 1. \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\) 2. \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\) 3. \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\) Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: - Mệnh đề A: \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\) Mệnh đề này không đúng theo định lý cosin. Theo định lý cosin, công thức đúng phải là \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\). - Mệnh đề B: \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos C\) Mệnh đề này không đúng theo định lý cosin. Theo định lý cosin, công thức đúng phải là \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A\). - Mệnh đề C: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos A\) Mệnh đề này đúng theo định lý cosin. Đây chính là công thức của định lý cosin cho cạnh \(c\). - Mệnh đề D: \(b^2 = a^2 + c^2 + 2bc \cos B\) Mệnh đề này không đúng theo định lý cosin. Theo định lý cosin, công thức đúng phải là \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B\). Vậy, mệnh đề đúng là mệnh đề \(\textcircled{C}\).