Xác định dư của phép chia đa thức: $x^{19}+x^5-x^{1995}$ cho đa thức $x^2-1$

Ta có: \[x^{19}+x^5-x^{1995}=x^{19}-x^{1995}+x^5=x^{19}(1-x^{1976})+x^5=x^{19}[1-(x^{16})^{123}]+x^5=x^{19}(1-y^{123})+x^5\] với \(y=x^{16}\) Ta thấy \(1-y^{123}\) chia hết cho \(1-y\) nên \(x^{19}(1-y^{123})\) chia hết cho \(x^{19}(1-x^{16})=x^{19}-x^{33}\) chia hết cho \(x^2-1\). Do đó, ta chỉ cần tìm dư của phép chia \(x^5\) cho \(x^2-1\). Ta có \(x^5=x(x^4)=x[(x^2)^2]=x(x^2+1)(x^2-1)-x\). Như vậy, dư của phép chia đa thức \(x^{19}+x^5-x^{1995}\) cho đa thức \(x^2-1\) là \(-x\).