Câu $\rm 1$.

Câu 1: a) Với \( m = -3 \), phương trình trở thành: \[ \cos^2 x - 2 \cos x - 3 = 0 \] Đặt \( t = \cos x \), ta có phương trình: \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] \[ \Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \] \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Do đó: \[ t_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \] \[ t_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] Vì \( t = \cos x \) và \( \cos x \) nằm trong khoảng \([-1, 1]\), nên \( t_1 = 3 \) không thỏa mãn. Do đó, ta có: \[ \cos x = -1 \] Giải phương trình \( \cos x = -1 \): \[ x = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] b) Để phương trình \( \cos^2 x - 2 \cos x + m = 0 \) có nghiệm \( x \) thuộc đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\), ta xét \( t = \cos x \) với \( t \in [0; 1] \). Phương trình trở thành: \[ t^2 - 2t + m = 0 \] Để phương trình này có nghiệm \( t \in [0; 1] \), ta cần xét điều kiện của \( m \). Phương trình \( t^2 - 2t + m = 0 \) có nghiệm khi và chỉ khi: \[ \Delta' \geq 0 \] \[ (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot m \geq 0 \] \[ 4 - 4m \geq 0 \] \[ 4 \geq 4m \] \[ m \leq 1 \] Tiếp theo, ta cần kiểm tra xem nghiệm \( t \) của phương trình có nằm trong khoảng \([0; 1]\) hay không. Giải phương trình \( t^2 - 2t + m = 0 \): \[ t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4m}}{2} = 1 \pm \sqrt{1 - m} \] Để \( t \in [0; 1] \), ta cần: \[ 0 \leq 1 - \sqrt{1 - m} \leq 1 \] \[ 0 \leq \sqrt{1 - m} \leq 1 \] \[ 0 \leq 1 - m \leq 1 \] \[ 0 \leq m \leq 1 \] Vậy, để phương trình \( \cos^2 x - 2 \cos x + m = 0 \) có nghiệm \( x \) thuộc đoạn \([0; \frac{\pi}{2}]\), \( m \) phải thỏa mãn: \[ 0 \leq m \leq 1 \]