Tính giới hạn.

Ta sẽ chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ là dãy tăng và bị chặn trên bởi 3. Từ đó suy ra dãy số $(u_n)$ hội tụ. Đầu tiên, ta chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ là dãy tăng. Ta có: $u_2 = \frac{1}{2}u_1^2 - u_1 + 2 = \frac{1}{2}\left(\frac{5}{2}\right)^2 - \frac{5}{2} + 2 = \frac{13}{4} > \frac{5}{2} = u_1.$ Giả sử rằng $u_n > u_{n-1}$ với mọi $n \geq 2$. Ta sẽ chứng minh rằng $u_{n+1} > u_n$. $u_{n+1} - u_n = \frac{1}{2}u_n^2 - u_n + 2 - u_n = \frac{1}{2}u_n^2 - 2u_n + 2.$ Ta có: $\frac{1}{2}u_n^2 - 2u_n + 2 = \frac{1}{2}(u_n^2 - 4u_n + 4) = \frac{1}{2}(u_n - 2)^2 > 0.$ Do đó, $u_{n+1} > u_n$ với mọi $n \geq 2$. Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy tăng. Tiếp theo, ta chứng minh rằng dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi 3. Ta có: $u_2 = \frac{13}{4} < 3.$ Giả sử rằng $u_n < 3$ với mọi $n \geq 2$. Ta sẽ chứng minh rằng $u_{n+1} < 3$. $u_{n+1} - 3 = \frac{1}{2}u_n^2 - u_n + 2 - 3 = \frac{1}{2}u_n^2 - u_n - 1.$ Ta có: $\frac{1}{2}u_n^2 - u_n - 1 = \frac{1}{2}(u_n^2 - 2u_n - 2) = \frac{1}{2}(u_n - 1)^2 - \frac{3}{2} < 0.$ Do đó, $u_{n+1} < 3$ với mọi $n \geq 2$. Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn trên bởi 3. Từ đó, ta suy ra dãy số $(u_n)$ hội tụ. Gọi $L$ là giới hạn của dãy số $(u_n)$. Ta có: $L = \lim_{n \to \infty} u_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}u_n^2 - u_n + 2\right) = \frac{1}{2}L^2 - L + 2.$ Giải phương trình này, ta được: $L = 2.$ Vậy giới hạn của dãy số $(u_n)$ là 2. Bây giờ, ta sẽ tính giới hạn của tổng $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{u_k}$. $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{u_k} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_2} + \cdots + \frac{1}{u_n}\right).$ Ta có: $\frac{1}{u_1} = \frac{2}{5},$ $\frac{1}{u_2} = \frac{4}{13},$ $\frac{1}{u_3} = \frac{8}{29},$ $\vdots$ $\frac{1}{u_n} = \frac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}.$ Do đó, $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{u_k} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{2}{5} + \frac{4}{13} + \cdots + \frac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\right) = 1.$ Vậy giới hạn của tổng $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{u_k}$ là 1.