Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 18: Để giải bài toán này, ta cần tìm diện tích của tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính \( R \). Giả sử tam giác đều là \( ABC \) với tâm đường tròn ngoại tiếp là \( O \). Khi đó, mỗi góc của tam giác đều là \( 60^\circ \). 1. Tính độ dài cạnh của tam giác đều: Do tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính \( R \), nên mỗi đỉnh của tam giác đều cách tâm \( O \) một khoảng \( R \). Góc ở tâm ứng với mỗi cạnh của tam giác đều là \( 60^\circ \). Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( AOB \) (với \( O \) là tâm đường tròn và \( AB \) là cạnh của tam giác đều): \[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(60^\circ) \] \[ AB^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \frac{1}{2} \] \[ AB^2 = 2R^2 - R^2 = R^2 \] \[ AB = R\sqrt{3} \] 2. Tính diện tích tam giác đều: Diện tích của tam giác đều \( ABC \) có cạnh \( a = R\sqrt{3} \) là: \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot (R\sqrt{3})^2 \] \[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 3R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 \] 3. Biểu diễn diện tích theo \( \sin \) hoặc \( \cos \): Ta biết rằng trong tam giác đều, góc ở tâm là \( 60^\circ \), do đó: \[ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay vào công thức diện tích: \[ S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 = 2R^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 \] \[ S = 2R^2 \sin^3(60^\circ) \] Vậy diện tích của tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính \( R \) là \( 2R^2\sin^3A \). Do đó, đáp án đúng là \( B.~2R^2\sin^3A \). Câu 19: Để tìm bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác với ba cạnh \(a\), \(b\), \(c\), ta sử dụng công thức: \[ r = \frac{S}{p} \] trong đó \(S\) là diện tích của tam giác và \(p\) là nửa chu vi của tam giác, được tính bằng: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] Diện tích \(S\) của tam giác có thể được tính bằng công thức Heron: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] Thay công thức tính diện tích \(S\) vào công thức tính bán kính \(r\), ta có: \[ r = \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} \] Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là: \[ \frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p} \] Do đó, đáp án đúng là: \(\textcircled{A.}~\frac{\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}.\) Câu 20: Để tìm chiều cao \( h_a \) của tam giác \( ABC \) với góc \( \widehat{A} = 60^\circ \), ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác và công thức lượng giác. 1. Diện tích tam giác: Diện tích \( S \) của tam giác \( ABC \) có thể được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times b \times c \times \sin A \] Với \( \widehat{A} = 60^\circ \), ta có \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Do đó: \[ S = \frac{1}{2} \times b \times c \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{bc\sqrt{3}}{4} \] 2. Chiều cao \( h_a \): Chiều cao \( h_a \) từ đỉnh \( A \) xuống cạnh \( BC \) có thể được tính bằng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times h_a \] Kết hợp hai công thức diện tích, ta có: \[ \frac{1}{2} \times a \times h_a = \frac{bc\sqrt{3}}{4} \] Suy ra: \[ h_a = \frac{bc\sqrt{3}}{2a} \] 3. Tính cạnh \( a \) theo \( b \) và \( c \): Sử dụng định lý cosin trong tam giác \( ABC \): \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Với \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), ta có: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \times \frac{1}{2} = b^2 + c^2 - bc \] Do đó: \[ a = \sqrt{b^2 + c^2 - bc} \] 4. Thay vào công thức chiều cao: Thay \( a = \sqrt{b^2 + c^2 - bc} \) vào công thức của \( h_a \): \[ h_a = \frac{bc\sqrt{3}}{2\sqrt{b^2 + c^2 - bc}} \] Vậy đáp án đúng là \( B. ~ h_a = \frac{bc\sqrt{3}}{2\sqrt{b^2 + c^2 - bc}} \). Câu 21: Để tính độ dài đoạn thẳng \( DF \), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ các điểm: - Giả sử hình vuông \( ABCD \) có cạnh bằng \( a \) và đặt trong hệ trục tọa độ với: - \( A(0, 0) \) - \( B(a, 0) \) - \( C(a, a) \) - \( D(0, a) \) 2. Tìm tọa độ điểm \( E \): - \( E \) là trung điểm của \( BC \), do đó tọa độ của \( E \) là: \[ E\left(\frac{a + a}{2}, \frac{0 + a}{2}\right) = (a, \frac{a}{2}) \] 3. Tìm tọa độ điểm \( F \): - \( F \) là trung điểm của \( AE \), do đó tọa độ của \( F \) là: \[ F\left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + \frac{a}{2}}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{4}\right) \] 4. Tính độ dài đoạn thẳng \( DF \): - Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \( D(0, a) \) và \( F\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{4}\right) \): \[ DF = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{4} - a\right)^2} \] \[ = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3a}{4}\right)^2} \] \[ = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{9a^2}{16}} \] \[ = \sqrt{\frac{4a^2 + 9a^2}{16}} \] \[ = \sqrt{\frac{13a^2}{16}} \] \[ = \frac{a\sqrt{13}}{4} \] Vậy độ dài đoạn thẳng \( DF \) là \( \frac{a\sqrt{13}}{4} \). Đáp án đúng là \( A \).