Phần $\rm a)$.

Để tìm hệ số của \( x^8 \) trong khai triển của \( (1 + x^2 - x^3)^n \), chúng ta sẽ làm theo các bước sau: Bước 1: Xác định giá trị của \( n \) Trước tiên, chúng ta cần tìm giá trị của \( n \) từ đẳng thức đã cho: \[ 1 \cdot 2 \cdot C_n^2 + 2 \cdot 3 \cdot C_n^3 + 3 \cdot 4 \cdot C_n^4 + \ldots + (n-1) \cdot n \cdot C_n^n = 64n(n-1) \] Chúng ta biết rằng: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Do đó, mỗi hạng tử trong tổng trên có dạng: \[ k(k+1) \cdot C_n^{k+1} \] Chúng ta có thể viết lại tổng này như sau: \[ \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) \cdot C_n^{k+1} = 64n(n-1) \] Bây giờ, chúng ta sẽ tính tổng này: \[ \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) \cdot C_n^{k+1} = \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) \cdot \frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!} \] Chúng ta có thể đơn giản hóa: \[ \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) \cdot \frac{n!}{(k+1)!(n-(k+1))!} = \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Chúng ta biết rằng: \[ \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot C_n^k = n \cdot 2^{n-1} \] Do đó: \[ n \cdot 2^{n-1} = 64n(n-1) \] Chia cả hai vế cho \( n \): \[ 2^{n-1} = 64(n-1) \] Chúng ta biết rằng \( 64 = 2^6 \), do đó: \[ 2^{n-1} = 2^6 \cdot (n-1) \] So sánh lũy thừa của 2: \[ n-1 = 6 \] \[ n = 7 \] Bước 2: Khai triển \( (1 + x^2 - x^3)^7 \) Bây giờ, chúng ta cần tìm hệ số của \( x^8 \) trong khai triển của \( (1 + x^2 - x^3)^7 \). Chúng ta sẽ sử dụng công thức khai triển đa thức: \[ (a + b + c)^n = \sum_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k \] Trong trường hợp này, \( a = 1 \), \( b = x^2 \), \( c = -x^3 \), và \( n = 7 \). Chúng ta cần tìm các tổ hợp \( i, j, k \) sao cho: \[ i + j + k = 7 \] và \[ 2j + 3k = 8 \] Giải hệ phương trình này: \[ i + j + k = 7 \] \[ 2j + 3k = 8 \] Từ phương trình thứ hai: \[ 2j = 8 - 3k \] \[ j = 4 - \frac{3k}{2} \] \( j \) phải là số nguyên, do đó \( k \) phải chẵn. Thử các giá trị chẵn của \( k \): - Nếu \( k = 0 \): \[ j = 4 \] \[ i = 7 - 4 - 0 = 3 \] - Nếu \( k = 2 \): \[ j = 4 - 3 = 1 \] \[ i = 7 - 1 - 2 = 4 \] - Nếu \( k = 4 \): \[ j = 4 - 6 = -2 \] (không hợp lệ) Do đó, chỉ có hai trường hợp hợp lệ: 1. \( i = 3, j = 4, k = 0 \) 2. \( i = 4, j = 1, k = 2 \) Bước 3: Tính hệ số của \( x^8 \) Hệ số của \( x^8 \) là tổng của các hệ số từ hai trường hợp trên: \[ \frac{7!}{3!4!0!} \cdot 1^3 \cdot (x^2)^4 \cdot (-x^3)^0 + \frac{7!}{4!1!2!} \cdot 1^4 \cdot (x^2)^1 \cdot (-x^3)^2 \] \[ = \frac{7!}{3!4!} \cdot x^8 + \frac{7!}{4!1!2!} \cdot (-1)^2 \cdot x^8 \] \[ = \frac{7!}{3!4!} + \frac{7!}{4!1!2!} \] \[ = \frac{5040}{144} + \frac{5040}{48} \] \[ = 35 + 105 \] \[ = 140 \] Vậy, hệ số của \( x^8 \) trong khai triển của \( (1 + x^2 - x^3)^7 \) là \( 140 \).