Phần $\rm a)$.

Để tìm giới hạn \( L = \lim_{x \to 0} \frac{(x^3 + 2020) \cdot \sqrt[2021]{1 + 2021x} - 2020}{x} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Phân tích biểu thức trong giới hạn: \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{(x^3 + 2020) \cdot \sqrt[2021]{1 + 2021x} - 2020}{x} \] 2. Sử dụng công thức gần đúng cho căn bậc cao: Khi \( x \) tiến đến 0, ta có thể sử dụng công thức gần đúng: \[ \sqrt[2021]{1 + 2021x} \approx 1 + \frac{2021x}{2021} = 1 + x \] Đây là công thức gần đúng dựa trên khai triển Taylor của \( (1 + kx)^{1/n} \) khi \( x \) rất nhỏ. 3. Thay công thức gần đúng vào biểu thức: \[ (x^3 + 2020) \cdot \sqrt[2021]{1 + 2021x} \approx (x^3 + 2020) \cdot (1 + x) \] 4. Phân phối và đơn giản hóa: \[ (x^3 + 2020) \cdot (1 + x) = x^3 + 2020 + x^4 + 2020x \] 5. Thay vào biểu thức giới hạn: \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + 2020 + x^4 + 2020x - 2020}{x} \] 6. Đơn giản hóa tử số: \[ L = \lim_{x \to 0} \frac{x^3 + x^4 + 2020x}{x} \] 7. Chia từng hạng tử cho \( x \): \[ L = \lim_{x \to 0} \left( x^2 + x^3 + 2020 \right) \] 8. Tính giới hạn khi \( x \) tiến đến 0: \[ L = 0^2 + 0^3 + 2020 = 2020 \] Vậy, giá trị của giới hạn là: \[ L = 2020 \]