Bài $\rm 4.$

Câu 4: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a. Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (MNC'). 1. Xác định các điểm M, N, C': - M là trung điểm của AB, do đó tọa độ của M là \( M\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) \). - N là trung điểm của BB', do đó tọa độ của N là \( N\left(a, 0, \frac{a\sqrt{2}}{2}\right) \). - C' có tọa độ là \( C'\left(0, a, a\sqrt{2}\right) \). 2. Xác định thiết diện: - Mặt phẳng (MNC') cắt các cạnh của lăng trụ để tạo thành thiết diện. Chúng ta cần tìm giao điểm của mặt phẳng này với các cạnh của lăng trụ. - Xét mặt phẳng (MNC') và tìm giao điểm với các cạnh của lăng trụ: - Giao điểm với cạnh AC: Giả sử giao điểm là P, ta có phương trình đường thẳng AC: \( x = t, y = t, z = 0 \) với \( 0 \leq t \leq a \). - Giao điểm với cạnh A'C': Giả sử giao điểm là Q, ta có phương trình đường thẳng A'C': \( x = 0, y = t, z = a\sqrt{2}t \) với \( 0 \leq t \leq 1 \). 3. Xác định các điểm giao: - Tìm giao điểm P và Q bằng cách giải hệ phương trình của mặt phẳng (MNC') với các đường thẳng AC và A'C'. 4. Kết luận về thiết diện: - Thiết diện là một tứ giác với các đỉnh M, N, P, Q. b. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MNC') và (ABC). 1. Xác định vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng: - Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là \( \vec{n}_1 = (0, 0, 1) \). - Mặt phẳng (MNC') có vectơ pháp tuyến \( \vec{n}_2 \) được xác định từ tích có hướng của hai vectơ trong mặt phẳng, ví dụ: \( \vec{MN} \) và \( \vec{MC'} \). 2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng: - Sử dụng công thức: \[ \cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \cdot \|\vec{n}_2\|} \] - Tính tích vô hướng và độ dài của các vectơ pháp tuyến để tìm \(\cos \theta\). 3. Tính diện tích thiết diện: - Sử dụng công thức diện tích tứ giác hoặc chia tứ giác thành hai tam giác và tính diện tích từng tam giác. Kết luận - Thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng (MNC') là một tứ giác. - Cosin của góc giữa hai mặt phẳng (MNC') và (ABC) được tính từ các vectơ pháp tuyến. - Diện tích thiết diện có thể được tính từ các điểm giao đã xác định.