Cho tứ giác ABCD có 2 đường thẳng AB và BC vuông góc.Gọi M,N,P,Q thứ tự là trung điểm của AB,AC,DC,BD.Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm O và bán kính của đường tròn

Question

Accepted Answer

Để chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng tứ giác MNPQ là tứ giác nội tiếp. Điều này có nghĩa là tổng hai góc đối diện của tứ giác MNPQ phải bằng 180 độ.

Bước 1: Xác định các điểm trung điểm

- Gọi $ M $ là trung điểm của $ AB $, do đó $ AM = MB $.
- Gọi $ N $ là trung điểm của $ AC $, do đó $ AN = NC $.
- Gọi $ P $ là trung điểm của $ DC $, do đó $ DP = PC $.
- Gọi $ Q $ là trung điểm của $ BD $, do đó $ BQ = QD $.

Bước 2: Chứng minh tứ giác MNPQ nội tiếp

Do $ AB \perp BC $, ta có góc $ \angle ABC = 90^\circ $.

- Xét tam giác $ \triangle ABC $, $ M $ và $ N $ là trung điểm của $ AB $ và $ AC $ tương ứng. Do đó, $ MN $ là đường trung bình của tam giác $ \triangle ABC $, suy ra $ MN \parallel BC $ và $ MN = \frac{1}{2}BC $.

- Xét tam giác $ \triangle BDC $, $ P $ và $ Q $ là trung điểm của $ DC $ và $ BD $ tương ứng. Do đó, $ PQ $ là đường trung bình của tam giác $ \triangle BDC $, suy ra $ PQ \parallel BC $ và $ PQ = \frac{1}{2}BC $.

Vì $ MN \parallel PQ $ và $ MN = PQ $, tứ giác $ MNPQ $ là hình thang cân.

Bước 3: Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang cân nội tiếp

Trong hình thang cân, hai góc kề một đáy bằng nhau. Do đó, tứ giác $ MNPQ $ có:

- $ \angle MNQ = \angle MPQ $
- $ \angle NMP = \angle NPQ $

Tổng hai góc đối diện của tứ giác $ MNPQ $ là:

- $ \angle MNQ + \angle MPQ = 180^\circ $

Do đó, tứ giác $ MNPQ $ là tứ giác nội tiếp.

Bước 4: Xác định tâm và bán kính của đường tròn

Vì $ MNPQ $ là hình thang cân nội tiếp, tâm $ O $ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ MNPQ $ nằm trên đường trung trực của $ MN $ và $ PQ $. Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm $ O $ đến một trong các điểm $ M, N, P, Q $.

Tóm lại, 4 điểm $ M, N, P, Q $ cùng thuộc một đường tròn, và tứ giác $ MNPQ $ là tứ giác nội tiếp. Tâm $ O $ và bán kính có thể được xác định cụ thể hơn nếu biết thêm thông tin về độ dài các đoạn thẳng.