Cho a, b, c là 3 số dương có tổng bằng 3. CMR $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}$

Bùi Ngọc Diễm

Ta có: $\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 2 số dương a, b ta có:

$1+b^2\ge2\sqrt{1b^2}=2b$

Do đó $a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}$

Tương tự, ta có:

$\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2}$

$\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}$

Thì $\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab+bc+ca}{2}=3-\frac{ab+bc+ca}{2}$ (1)

Mặt khác: $a^2\ge0;b^2\ge0;c^2\ge0$

Và a, b, c là các số dương

$a^2+b^2+2ab\ge0$

⇔ $a^2+b^2\ge2ab$

⇔ $\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab$

Tương tự: $\frac{b^2+c^2}{2}\ge bc$

$\frac{c^2+a^2}{2}\ge ca$

Do đó: $a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$

$a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)$

$\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)$

$ab+bc+ca\le3$ (2)

Từ (1);(2) suy ra

$\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy $\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a}\ge\frac{3}{2}$