Giải hộ mình câu này với các bạn 4. Tính tích phân xác định: $\int^1_0\frac{x^2}{x^3+1}dx.$

Question

Accepted Answer

Để tính tích phân xác định $\int^1_0 \frac{x^2}{x^3+1} \, dx$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Phân tích hàm số: Hàm số dưới dấu tích phân là $\frac{x^2}{x^3+1}$. Ta thấy rằng hàm này liên tục trên đoạn $[0, 1]$.

2. Đặt biến phụ: Để đơn giản hóa tích phân, ta đặt $u = x^3 + 1$. Khi đó, $du = 3x^2 \, dx$, hay $x^2 \, dx = \frac{1}{3} du$.

3. Thay đổi giới hạn tích phân: Khi $x = 0$, thì $u = 0^3 + 1 = 1$. Khi $x = 1$, thì $u = 1^3 + 1 = 2$.

4. Viết lại tích phân theo $u$:
   $$
   \int^1_0 \frac{x^2}{x^3+1} \, dx = \int^{2}_1 \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} \, du = \frac{1}{3} \int^{2}_1 \frac{1}{u} \, du.
   $$

5. Tính tích phân: Tích phân của $\frac{1}{u}$ là $\ln|u|$. Do đó,
   $$
   \frac{1}{3} \int^{2}_1 \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{3} \left[ \ln|u| \right]^{2}_1 = \frac{1}{3} \left( \ln 2 - \ln 1 \right).
   $$

6. Đơn giản hóa kết quả: Vì $\ln 1 = 0$, nên
   $$
   \frac{1}{3} \left( \ln 2 - \ln 1 \right) = \frac{1}{3} \ln 2.
   $$

Vậy, giá trị của tích phân xác định $\int^1_0 \frac{x^2}{x^3+1} \, dx$ là $\boxed{\frac{1}{3} \ln 2}$.