Cho (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC. a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp. b) E là giao điểm của BC và AO. Chứng minh BE vuông góc OA và OA.OE = R^2 c) Trên cung nhỏ BC lấy...

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh tứ giác \(ABOC\) nội tiếp: - Ta có \(AB\) và \(AC\) là các tiếp tuyến của đường tròn \((O;R)\) tại \(B\) và \(C\). - Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có \(\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ\). - Do đó, \(\angle OBA + \angle OCA = 180^\circ\). - Vậy tứ giác \(ABOC\) có tổng hai góc đối diện bằng \(180^\circ\), nên \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh \(BE\) vuông góc với \(OA\) và \(OA \cdot OE = R^2\): - Vì \(ABOC\) là tứ giác nội tiếp, nên \(\angle OBC = \angle OAC\). - Do \(E\) là giao điểm của \(BC\) và \(AO\), ta có \(\angle OBE = \angle OAE\). - Từ đó, \(\angle OBE + \angle OAE = 90^\circ\), suy ra \(BE \perp OA\). - Theo tính chất của đường tròn và tiếp tuyến, ta có \(OB = OC = R\). - Sử dụng định lý về đường kính và tiếp tuyến, ta có \(OA \cdot OE = OB^2 = R^2\). c) Chứng minh chu vi \(\Delta APQ\) không đổi khi \(K\) di chuyển: - Khi \(K\) di chuyển trên cung nhỏ \(BC\), ta có \(AK\) là một dây cung cố định. - Do \(AB\) và \(AC\) là tiếp tuyến, nên \(\angle BAK = \angle CAK\). - Từ đó, \(\angle BAK + \angle CAK = \angle BAC\) không đổi. - Do đó, chu vi \(\Delta APQ = AB + AC + AK\) không đổi khi \(K\) di chuyển. d) Chứng minh \(PM + QN \geq MN\): - Đường thẳng qua \(O\) vuông góc với \(OA\) cắt \(AB\) và \(AC\) tại \(M\) và \(N\). - Theo tính chất của đường trung trực, \(OM = ON\). - Sử dụng bất đẳng thức tam giác trong \(\Delta PMN\) và \(\Delta QMN\), ta có: - \(PM + MN \geq PN\) - \(QN + MN \geq QN\) - Cộng hai bất đẳng thức trên, ta có \(PM + QN \geq MN\). Vậy, chúng ta đã chứng minh được tất cả các phần của bài toán.