Câu $\rm 16.$

Câu 16: Ta có phương trình $\sin x-\sqrt3.\cos x=m$ (1) Ta có thể viết lại phương trình (1) dưới dạng: $\frac{1}{2}\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos x = \frac{m}{2}$ $\Leftrightarrow \sin x \cos \frac{\pi}{3} - \cos x \sin \frac{\pi}{3} = \frac{m}{2}$ $\Leftrightarrow \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{m}{2}$ Do đó, phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $-1 \leq \frac{m}{2} \leq 1$, tức là $-2 \leq m \leq 2$. (a) Khi $m = 0$, phương trình trở thành $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = 0$. Giải phương trình này ta được $x - \frac{\pi}{3} = k\pi$ với $k$ là số nguyên. Suy ra $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$. Trong khoảng $(0; \pi)$, ta có hai nghiệm là $x = \frac{\pi}{3}$ và $x = \frac{4\pi}{3}$. Vậy mệnh đề (a) đúng. (b) Khi $m = 1$, phương trình trở thành $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Phương trình này tương đương với phương trình $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{6})$. Vậy mệnh đề (b) đúng. (c) Khi $m = 3$, phương trình trở thành $\sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2}$. Do $\frac{3}{2} > 1$, nên phương trình này vô nghiệm. Vậy mệnh đề (c) đúng. (d) Phương trình đã cho luôn có nghiệm khi $m$ thuộc $[-2; 2]$. Vậy mệnh đề (d) đúng. Đáp án: (a) Đúng (b) Đúng (c) Đúng (d) Đúng