Câu $\rm 15$.

Câu 15: (a) Với \( x = \frac{\pi}{2} \): - Ta có \( \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 \) và \( \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \). - Thay vào hàm số \( y = \frac{\sin x + 1}{\cos x + 2} \): \[ y = \frac{1 + 1}{0 + 2} = \frac{2}{2} = 1 \] Do đó, mệnh đề này đúng. (b) Tập xác định của hàm số: - Hàm số \( y = \frac{\sin x + 1}{\cos x + 2} \) có mẫu số là \( \cos x + 2 \). - Mẫu số khác 0 khi \( \cos x + 2 \neq 0 \). Điều này luôn đúng vì \( \cos x \) nằm trong khoảng \([-1, 1]\), do đó \( \cos x + 2 \) luôn dương. - Vậy tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). Do đó, mệnh đề này đúng. (c) Hàm số trên là hàm lẻ: - Một hàm số \( f(x) \) là hàm lẻ nếu \( f(-x) = -f(x) \). - Xét \( f(-x) = \frac{\sin(-x) + 1}{\cos(-x) + 2} = \frac{-\sin x + 1}{\cos x + 2} \). - So sánh với \( -f(x) = -\frac{\sin x + 1}{\cos x + 2} \): \[ f(-x) = \frac{-\sin x + 1}{\cos x + 2} \neq -\frac{\sin x + 1}{\cos x + 2} \] Do đó, hàm số không phải là hàm lẻ. Mệnh đề này sai. (d) Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số: - Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \( y = \frac{\sin x + 1}{\cos x + 2} \). - Đặt \( t = \tan \frac{x}{2} \), ta có \( \sin x = \frac{2t}{1+t^2} \) và \( \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \). - Thay vào hàm số: \[ y = \frac{\frac{2t}{1+t^2} + 1}{\frac{1-t^2}{1+t^2} + 2} = \frac{2t + 1 + t^2}{1 - t^2 + 2 + 2t^2} = \frac{t^2 + 2t + 1}{t^2 + 3} \] - Rút gọn: \[ y = \frac{(t+1)^2}{t^2 + 3} \] - Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, ta xét đạo hàm hoặc sử dụng phương pháp đại số. - Giá trị nhỏ nhất của \( y \) là 0 khi \( t = -1 \) (tức là \( x = \pi \)). - Giá trị lớn nhất của \( y \) là \( \frac{4}{3} \) khi \( t = 1 \) (tức là \( x = 0 \)). Do đó, mệnh đề này đúng. Câu trả lời cuối cùng: (a) Đúng (b) Đúng (c) Sai (d) Đúng