Giup Em với ak

Câu 5: Giải chi tiết: a) \( y = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + 3x - 1 \) 1. Tìm đạo hàm \( y' \): \[ y' = -x^2 + 2x + 3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -x^2 + 2x + 3 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khoảng \((-\infty, -1)\): Chọn \( x = -2 \): \[ y'(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) + 3 = -4 - 4 + 3 = -5 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((-\infty, -1)\). - Khoảng \((-1, 3)\): Chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = -(0)^2 + 2(0) + 3 = 3 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((-1, 3)\). - Khoảng \((3, +\infty)\): Chọn \( x = 4 \): \[ y'(4) = -(4)^2 + 2(4) + 3 = -16 + 8 + 3 = -5 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((3, +\infty)\). Kết luận: - Hàm số nghịch biến trên \((-\infty, -1)\) và \((3, +\infty)\). - Hàm số đồng biến trên \((-1, 3)\). b) \( y = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \) 1. Tìm đạo hàm \( y' \): \[ y' = 3x^2 - 6x + 3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 6x + 3 = 0 \] \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] \[ (x - 1)^2 = 0 \] \[ x = 1 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khoảng \((-\infty, 1)\): Chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 3 = 3 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((-\infty, 1)\). - Khoảng \((1, +\infty)\): Chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 3 = 12 - 12 + 3 = 3 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((1, +\infty)\). Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). c) \( y = x^4 + x^2 - 2 \) 1. Tìm đạo hàm \( y' \): \[ y' = 4x^3 + 2x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4x^3 + 2x = 0 \] \[ 2x(2x^2 + 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 + 1 = 0 \quad (\text{vô nghiệm}) \] \[ x = 0 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khoảng \((-\infty, 0)\): Chọn \( x = -1 \): \[ y'(-1) = 4(-1)^3 + 2(-1) = -4 - 2 = -6 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((-\infty, 0)\). - Khoảng \((0, +\infty)\): Chọn \( x = 1 \): \[ y'(1) = 4(1)^3 + 2(1) = 4 + 2 = 6 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((0, +\infty)\). Kết luận: - Hàm số nghịch biến trên \((-\infty, 0)\). - Hàm số đồng biến trên \((0, +\infty)\). d) \( y = -x^4 + 2x^2 - 1 \) 1. Tìm đạo hàm \( y' \): \[ y' = -4x^3 + 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -4x^3 + 4x = 0 \] \[ -4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khoảng \((-\infty, -1)\): Chọn \( x = -2 \): \[ y'(-2) = -4(-2)^3 + 4(-2) = 32 - 8 = 24 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((-\infty, -1)\). - Khoảng \((-1, 0)\): Chọn \( x = -0.5 \): \[ y'(-0.5) = -4(-0.5)^3 + 4(-0.5) = 0.5 - 2 = -1.5 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((-1, 0)\). - Khoảng \((0, 1)\): Chọn \( x = 0.5 \): \[ y'(0.5) = -4(0.5)^3 + 4(0.5) = -0.5 + 2 = 1.5 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((0, 1)\). - Khoảng \((1, +\infty)\): Chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = -4(2)^3 + 4(2) = -32 + 8 = -24 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((1, +\infty)\). Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \((-\infty, -1)\) và \((0, 1)\). - Hàm số nghịch biến trên \((-1, 0)\) và \((1, +\infty)\). e) \( y = \frac{2x - 3}{x - 4} \) 1. Tìm đạo hàm \( y' \): \[ y' = \frac{(2)(x - 4) - (2x - 3)(1)}{(x - 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x - 8 - 2x + 3}{(x - 4)^2} \] \[ y' = \frac{-5}{(x - 4)^2} \] 2. Xét dấu của \( y' \): - Khoảng \((-\infty, 4)\): Chọn \( x = 3 \): \[ y'(3) = \frac{-5}{(3 - 4)^2} = \frac{-5}{1} = -5 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((-\infty, 4)\). - Khoảng \((4, +\infty)\): Chọn \( x = 5 \): \[ y'(5) = \frac{-5}{(5 - 4)^2} = \frac{-5}{1} = -5 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((4, +\infty)\). Kết luận: - Hàm số nghịch biến trên \((-\infty, 4)\) và \((4, +\infty)\). g) \( y = \frac{x^2 + x + 2}{x + 2} \) 1. Tìm đạo hàm \( y' \): \[ y' = \frac{(2x + 1)(x + 2) - (x^2 + x + 2)(1)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + x + 2 - x^2 - x - 2}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 4x}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{x(x + 4)}{(x + 2)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{x(x + 4)}{(x + 2)^2} = 0 \] \[ x(x + 4) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -4 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khoảng \((-\infty, -4)\): Chọn \( x = -5 \): \[ y'(-5) = \frac{(-5)(-5 + 4)}{(-5 + 2)^2} = \frac{5}{9} > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((-\infty, -4)\). - Khoảng \((-4, -2)\): Chọn \( x = -3 \): \[ y'(-3) = \frac{(-3)(-3 + 4)}{(-3 + 2)^2} = \frac{-3}{1} = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \((-4, -2)\). - Khoảng \((-2, 0)\): Chọn \( x = -1 \): \[ y'(-1) = \frac{(-1)(-1 + 4)}{(-1 + 2)^2} = \frac{3}{1} = 3 > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((-2, 0)\). - Khoảng \((0, +\infty)\): Chọn \( x = 1 \): \[ y'(1) = \frac{(1)(1 + 4)}{(1 + 2)^2} = \frac{5}{9} > 0 \] Hàm số đồng biến trên \((0, +\infty)\). Kết luận: - Hàm số đồng biến trên \((-\infty, -4)\), \((-2, 0)\), và \((0, +\infty)\). - Hàm số nghịch biến trên \((-4, -2)\).