giai giup toi bai tap

Ví dụ 1: Để xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = x^2 + 4x - 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 + 4x - 2) = 2x + 4 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 2x + 4 = 0 \implies 2x = -4 \implies x = -2 \] 3. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng xác định: - Khoảng \((-\infty, -2)\): Chọn \( x = -3 \): \[ y'(-3) = 2(-3) + 4 = -6 + 4 = -2 < 0 \] Hàm số giảm trên khoảng này. - Khoảng \((-2, +\infty)\): Chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = 2(0) + 4 = 4 > 0 \] Hàm số tăng trên khoảng này. 4. Kết luận về tính đơn điệu: - Hàm số giảm trên khoảng \((-\infty, -2)\). - Hàm số tăng trên khoảng \((-2, +\infty)\). 5. Xác định cực trị: - Tại \( x = -2 \), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, do đó hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -2 \). - Giá trị cực tiểu: \[ y(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 2 = 4 - 8 - 2 = -6 \] Kết luận: - Hàm số \( y = x^2 + 4x - 2 \) giảm trên khoảng \((-\infty, -2)\) và tăng trên khoảng \((-2, +\infty)\). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -2 \) với giá trị cực tiểu là \( y = -6 \). Ví dụ 2: Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 1 \) là: \[ y' = 3x^2 - 6x \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) Giải phương trình \( 3x^2 - 6x = 0 \): \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng Chúng ta sẽ xét dấu của \( y' \) trên các khoảng \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \), và \( (2, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ y'(-1) = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0 \] Vậy \( y' > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, 0) \). - Trên khoảng \( (0, 2) \): Chọn \( x = 1 \): \[ y'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0 \] Vậy \( y' < 0 \) trên khoảng \( (0, 2) \). - Trên khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ y'(3) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0 \] Vậy \( y' > 0 \) trên khoảng \( (2, +\infty) \). Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số - Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 0) \) và \( (2, +\infty) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0, 2) \). Bước 5: Tìm cực trị của hàm số - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1 \] Vì \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = 0 \), nên hàm số đạt cực đại tại \( x = 0 \) với giá trị \( y = 1 \). - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3 \] Vì \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 2 \), nên hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \) với giá trị \( y = -3 \). Kết luận - Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 0) \) và \( (2, +\infty) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0, 2) \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 0 \) với giá trị \( y = 1 \). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 2 \) với giá trị \( y = -3 \). Ví dụ 3: Để xét tính đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 3x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm cấp một của hàm số Đạo hàm của \( y = -x^3 + 3x^2 - 3x \) là: \[ y' = -3x^2 + 6x - 3 \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) Giải phương trình: \[ -3x^2 + 6x - 3 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ x^2 - 2x + 1 = 0 \] Phương trình này có thể viết lại thành: \[ (x - 1)^2 = 0 \] Do đó: \[ x = 1 \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm \( y' \) Ta có: \[ y' = -3(x - 1)^2 \] Vì \( (x - 1)^2 \geq 0 \) với mọi \( x \), nên \( y' \leq 0 \) với mọi \( x \). Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu Vì \( y' \leq 0 \) với mọi \( x \), hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 3x \) luôn giảm trên toàn bộ miền xác định của nó. Bước 5: Xác định cực trị Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại các điểm mà đạo hàm bằng 0. Từ bước 2, ta thấy \( x = 1 \) là điểm duy nhất mà \( y' = 0 \). Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 + 3(1)^2 - 3(1) = -1 + 3 - 3 = -1 \] Vì hàm số luôn giảm, tại \( x = 1 \) hàm số không có cực đại hay cực tiểu. Kết luận - Hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 3x \) luôn giảm trên toàn bộ miền xác định của nó. - Hàm số không có cực trị. Đáp án cuối cùng: Hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 - 3x \) luôn giảm trên toàn bộ miền xác định của nó và không có cực trị. Ví dụ 4: Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2) = 4x^3 - 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] 3. Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng: - Khoảng \((-\infty, -1)\): Chọn \( x = -2 \): \[ y'(-2) = 4(-2)^3 - 4(-2) = 4(-8) + 8 = -32 + 8 = -24 < 0 \] Hàm số giảm trên khoảng này. - Khoảng \((-1, 0)\): Chọn \( x = -0.5 \): \[ y'(-0.5) = 4(-0.5)^3 - 4(-0.5) = 4(-0.125) + 2 = -0.5 + 2 = 1.5 > 0 \] Hàm số tăng trên khoảng này. - Khoảng \((0, 1)\): Chọn \( x = 0.5 \): \[ y'(0.5) = 4(0.5)^3 - 4(0.5) = 4(0.125) - 2 = 0.5 - 2 = -1.5 < 0 \] Hàm số giảm trên khoảng này. - Khoảng \((1, \infty)\): Chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = 4(2)^3 - 4(2) = 4(8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0 \] Hàm số tăng trên khoảng này. 4. Xác định các điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1 \] Hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \) với giá trị \( y = -1 \). - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0 \] Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 0 \) với giá trị \( y = 0 \). - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = 1^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1 \] Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \) với giá trị \( y = -1 \). Kết luận: - Hàm số tăng trên các khoảng \((-1, 0)\) và \((1, \infty)\). - Hàm số giảm trên các khoảng \((-\infty, -1)\) và \((0, 1)\). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \) với giá trị \( y = -1 \). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 0 \) với giá trị \( y = 0 \). Ví dụ 5: Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = \frac{x+4}{x+3} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định (TXĐ): Hàm số \( y = \frac{x+4}{x+3} \) có mẫu số \( x + 3 \neq 0 \). Do đó, \( x \neq -3 \). Tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-3\} \] 2. Tính đạo hàm \( y' \): Ta sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y = \frac{u}{v} \implies y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Với \( u = x + 4 \) và \( v = x + 3 \), ta có: \[ u' = 1 \quad \text{và} \quad v' = 1 \] Do đó: \[ y' = \frac{(1)(x+3) - (x+4)(1)}{(x+3)^2} = \frac{x + 3 - x - 4}{(x+3)^2} = \frac{-1}{(x+3)^2} \] 3. Xác định dấu của đạo hàm \( y' \): \[ y' = \frac{-1}{(x+3)^2} \] Vì \( (x+3)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq -3 \), nên \( y' < 0 \) với mọi \( x \neq -3 \). 4. Xác định các khoảng đơn điệu: - Hàm số \( y = \frac{x+4}{x+3} \) giảm trên mỗi khoảng \( (-\infty, -3) \) và \( (-3, +\infty) \). 5. Xác định cực trị: - Vì đạo hàm \( y' \) không đổi dấu tại \( x = -3 \) (đạo hàm không tồn tại tại \( x = -3 \)), nên hàm số không có cực trị. Kết luận: - Hàm số \( y = \frac{x+4}{x+3} \) giảm trên các khoảng \( (-\infty, -3) \) và \( (-3, +\infty) \). - Hàm số không có cực trị. Ví dụ 6: Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = \frac{3x + 1}{1 - x} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = \frac{3x + 1}{1 - x} \) có mẫu số \( 1 - x \). Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0: \[ 1 - x \neq 0 \] \[ x \neq 1 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Bước 2: Tính đạo hàm Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \( y \). Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y = \frac{u}{v} \implies y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: \[ u = 3x + 1 \] \[ v = 1 - x \] Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): \[ u' = 3 \] \[ v' = -1 \] Áp dụng công thức: \[ y' = \frac{(3)(1 - x) - (3x + 1)(-1)}{(1 - x)^2} \] \[ y' = \frac{3 - 3x + 3x + 1}{(1 - x)^2} \] \[ y' = \frac{4}{(1 - x)^2} \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm Đạo hàm \( y' = \frac{4}{(1 - x)^2} \) luôn dương vì \( 4 > 0 \) và \( (1 - x)^2 > 0 \) với mọi \( x \neq 1 \). Bước 4: Kết luận về khoảng đơn điệu Vì \( y' > 0 \) trên toàn bộ tập xác định \( D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \), hàm số \( y = \frac{3x + 1}{1 - x} \) đồng biến trên các khoảng: \[ (-\infty, 1) \quad \text{và} \quad (1, +\infty) \] Bước 5: Kiểm tra cực trị Do đạo hàm \( y' \) không đổi dấu tại \( x = 1 \) (vì \( y' \) không tồn tại tại \( x = 1 \)), hàm số không có cực trị. Kết luận - Hàm số \( y = \frac{3x + 1}{1 - x} \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (1, +\infty) \). - Hàm số không có cực trị. Ví dụ 7: Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 3} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 3} \) có mẫu số \( x - 3 \). Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0: \[ x - 3 \neq 0 \] \[ x \neq 3 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{3\} \] Bước 2: Tính đạo hàm Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \( y \). Hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 3} \) là một phân thức, nên chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x^2 - 3x + 4)'(x - 3) - (x^2 - 3x + 4)(x - 3)'}{(x - 3)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3 \] \[ (x - 3)' = 1 \] Thay vào công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x - 3)(x - 3) - (x^2 - 3x + 4)(1)}{(x - 3)^2} \] Phát triển và rút gọn: \[ y' = \frac{(2x - 3)(x - 3) - (x^2 - 3x + 4)}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 6x - 3x + 9 - x^2 + 3x - 4}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 6x - 3x + 9 - x^2 + 3x - 4}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 6x + 5}{(x - 3)^2} \] Bước 3: Tìm các điểm dừng Điểm dừng là các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Đạo hàm \( y' \) không xác định khi mẫu số bằng 0: \[ (x - 3)^2 = 0 \] \[ x = 3 \] Đạo hàm \( y' \) bằng 0 khi tử số bằng 0: \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 5) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 5 \] Bước 4: Xác định các khoảng đơn điệu Chúng ta sẽ xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng \( (-\infty, 1) \), \( (1, 3) \), \( (3, 5) \), và \( (5, \infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = \frac{0^2 - 6 \cdot 0 + 5}{(0 - 3)^2} = \frac{5}{9} > 0 \] Hàm số đồng biến. - Trên khoảng \( (1, 3) \): Chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = \frac{2^2 - 6 \cdot 2 + 5}{(2 - 3)^2} = \frac{4 - 12 + 5}{1} = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (3, 5) \): Chọn \( x = 4 \): \[ y'(4) = \frac{4^2 - 6 \cdot 4 + 5}{(4 - 3)^2} = \frac{16 - 24 + 5}{1} = -3 < 0 \] Hàm số nghịch biến. - Trên khoảng \( (5, \infty) \): Chọn \( x = 6 \): \[ y'(6) = \frac{6^2 - 6 \cdot 6 + 5}{(6 - 3)^2} = \frac{36 - 36 + 5}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Hàm số đồng biến. Bước 5: Xác định cực trị - Tại \( x = 1 \): Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm, nên hàm số có cực đại tại \( x = 1 \). Giá trị cực đại: \[ y(1) = \frac{1^2 - 3 \cdot 1 + 4}{1 - 3} = \frac{1 - 3 + 4}{-2} = \frac{2}{-2} = -1 \] - Tại \( x = 5 \): Đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số có cực tiểu tại \( x = 5 \). Giá trị cực tiểu: \[ y(5) = \frac{5^2 - 3 \cdot 5 + 4}{5 - 3} = \frac{25 - 15 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] Kết luận - Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (5, \infty) \). - Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (1, 3) \) và \( (3, 5) \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \) với giá trị \( y = -1 \). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 5 \) với giá trị \( y = 7 \). Ví dụ 8: Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} \) có mẫu số \( x + 2 \). Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0: \[ x + 2 \neq 0 \] \[ x \neq -2 \] Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \] Bước 2: Tính đạo hàm Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị, chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \( y \). Hàm số \( y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} \) là một phân thức, nên chúng ta sẽ sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(u)'v - uv'}{v^2} \] trong đó \( u = -x^2 + 2x - 1 \) và \( v = x + 2 \). Tính \( u' \) và \( v' \): \[ u' = -2x + 2 \] \[ v' = 1 \] Áp dụng công thức: \[ y' = \frac{(-2x + 2)(x + 2) - (-x^2 + 2x - 1)(1)}{(x + 2)^2} \] Phát triển tử số: \[ (-2x + 2)(x + 2) = -2x^2 - 4x + 2x + 4 = -2x^2 - 2x + 4 \] \[ -(-x^2 + 2x - 1) = x^2 - 2x + 1 \] Cộng lại: \[ -2x^2 - 2x + 4 + x^2 - 2x + 1 = -x^2 - 4x + 5 \] Vậy: \[ y' = \frac{-x^2 - 4x + 5}{(x + 2)^2} \] Bước 3: Tìm các điểm dừng Đặt \( y' = 0 \) để tìm các điểm dừng: \[ \frac{-x^2 - 4x + 5}{(x + 2)^2} = 0 \] Giải phương trình: \[ -x^2 - 4x + 5 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1: \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \] Vậy: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -5 \] Bước 4: Xác định các khoảng đơn điệu Chúng ta sẽ xét dấu của \( y' \) trên các khoảng \( (-\infty, -5) \), \( (-5, -2) \), \( (-2, 1) \), và \( (1, \infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -5) \): Chọn \( x = -6 \): \[ y' = \frac{-(-6)^2 - 4(-6) + 5}{(-6 + 2)^2} = \frac{-36 + 24 + 5}{16} = \frac{-7}{16} < 0 \] Hàm số giảm. - Trên khoảng \( (-5, -2) \): Chọn \( x = -3 \): \[ y' = \frac{-(-3)^2 - 4(-3) + 5}{(-3 + 2)^2} = \frac{-9 + 12 + 5}{1} = \frac{8}{1} > 0 \] Hàm số tăng. - Trên khoảng \( (-2, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y' = \frac{-0^2 - 4(0) + 5}{(0 + 2)^2} = \frac{5}{4} > 0 \] Hàm số tăng. - Trên khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ y' = \frac{-2^2 - 4(2) + 5}{(2 + 2)^2} = \frac{-4 - 8 + 5}{16} = \frac{-7}{16} < 0 \] Hàm số giảm. Bước 5: Xác định cực trị - Tại \( x = -5 \): Hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó \( x = -5 \) là điểm cực tiểu. - Tại \( x = 1 \): Hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó \( x = 1 \) là điểm cực đại. Kết luận - Hàm số giảm trên khoảng \( (-\infty, -5) \) và \( (1, \infty) \). - Hàm số tăng trên khoảng \( (-5, -2) \) và \( (-2, 1) \). - Hàm số đạt cực tiểu tại \( x = -5 \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). Ví dụ 9: Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số Hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} \) có nghĩa khi biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ x^2 - 4x + 3 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \geq 0 \] Bảng xét dấu của \( (x - 1)(x - 3) \): \[ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & (1, 3) & (3, \infty) \\ \hline (x - 1) & - & + & + \\ (x - 3) & - & - & + \\ \hline (x - 1)(x - 3) & + & - & + \end{array} \] Do đó, \( x^2 - 4x + 3 \geq 0 \) khi \( x \leq 1 \) hoặc \( x \geq 3 \). Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, 1] \cup [3, \infty) \] Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 4x + 3} \) có thể viết lại thành: \[ y = (x^2 - 4x + 3)^{1/2} \] Sử dụng quy tắc chuỗi để tính đạo hàm: \[ y' = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 3)^{-1/2} \cdot (2x - 4) \] \[ y' = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x + 3}} \] \[ y' = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x + 3}} \] Bước 3: Xác định các điểm dừng Điểm dừng là nơi đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Đạo hàm bằng 0: \[ \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x + 3}} = 0 \] \[ x - 2 = 0 \] \[ x = 2 \] - Đạo hàm không xác định khi mẫu số bằng 0: \[ \sqrt{x^2 - 4x + 3} = 0 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Vậy các điểm dừng là \( x = 1 \), \( x = 2 \), và \( x = 3 \). Bước 4: Xét dấu của đạo hàm trên các khoảng Chúng ta sẽ xét dấu của \( y' \) trên các khoảng \( (-\infty, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, 3) \), và \( (3, \infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y' = \frac{0 - 2}{\sqrt{0^2 - 4 \cdot 0 + 3}} = \frac{-2}{\sqrt{3}} < 0 \] Hàm số giảm. - Trên khoảng \( (1, 2) \): Chọn \( x = 1.5 \): \[ y' = \frac{1.5 - 2}{\sqrt{(1.5)^2 - 4 \cdot 1.5 + 3}} = \frac{-0.5}{\sqrt{2.25 - 6 + 3}} = \frac{-0.5}{\sqrt{0.25}} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0 \] Hàm số giảm. - Trên khoảng \( (2, 3) \): Chọn \( x = 2.5 \): \[ y' = \frac{2.5 - 2}{\sqrt{(2.5)^2 - 4 \cdot 2.5 + 3}} = \frac{0.5}{\sqrt{6.25 - 10 + 3}} = \frac{0.5}{\sqrt{0.25}} = \frac{0.5}{0.5} = 1 > 0 \] Hàm số tăng. - Trên khoảng \( (3, \infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ y' = \frac{4 - 2}{\sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 + 3}} = \frac{2}{\sqrt{16 - 16 + 3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} > 0 \] Hàm số tăng. Bước 5: Kết luận về khoảng đơn điệu và cực trị - Hàm số giảm trên khoảng \( (-\infty, 1] \). - Hàm số giảm trên khoảng \( [1, 2] \). - Hàm số tăng trên khoảng \( [2, 3] \). - Hàm số tăng trên khoảng \( [3, \infty) \). Cực tiểu tại \( x = 2 \): \[ y(2) = \sqrt{2^2 - 4 \cdot 2 + 3} = \sqrt{4 - 8 + 3} = \sqrt{1} = 1 \] Vậy, hàm số có cực tiểu tại \( x = 2 \) với giá trị \( y = 1 \). Ví dụ 10: Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = x\sqrt{4 - x^2} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = x\sqrt{4 - x^2} \) có nghĩa khi \( 4 - x^2 \geq 0 \). Giải bất phương trình này: \[ 4 - x^2 \geq 0 \] \[ x^2 \leq 4 \] \[ -2 \leq x \leq 2 \] Vậy tập xác định của hàm số là \( D = [-2, 2] \). Bước 2: Tính đạo hàm Ta tính đạo hàm của \( y \): \[ y = x\sqrt{4 - x^2} \] Sử dụng quy tắc nhân để tính đạo hàm: \[ y' = \frac{d}{dx}\left( x \right) \cdot \sqrt{4 - x^2} + x \cdot \frac{d}{dx}\left( \sqrt{4 - x^2} \right) \] Tính đạo hàm từng phần: \[ \frac{d}{dx}\left( x \right) = 1 \] \[ \frac{d}{dx}\left( \sqrt{4 - x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{4 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} \] Do đó: \[ y' = \sqrt{4 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} \] \[ y' = \sqrt{4 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \] \[ y' = \frac{(4 - x^2) - x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \] \[ y' = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}} \] Bước 3: Tìm các điểm dừng Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = 0 \] \[ 4 - 2x^2 = 0 \] \[ 2x^2 = 4 \] \[ x^2 = 2 \] \[ x = \pm \sqrt{2} \] Bước 4: Xác định khoảng đơn điệu Xét dấu của \( y' \) trên các khoảng \( (-2, -\sqrt{2}) \), \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \), và \( (\sqrt{2}, 2) \): - Trên khoảng \( (-2, -\sqrt{2}) \): Chọn \( x = -1.5 \): \[ y' = \frac{4 - 2(-1.5)^2}{\sqrt{4 - (-1.5)^2}} = \frac{4 - 4.5}{\sqrt{4 - 2.25}} = \frac{-0.5}{\sqrt{1.75}} < 0 \] Hàm số giảm. - Trên khoảng \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y' = \frac{4 - 2(0)^2}{\sqrt{4 - (0)^2}} = \frac{4}{2} = 2 > 0 \] Hàm số tăng. - Trên khoảng \( (\sqrt{2}, 2) \): Chọn \( x = 1.5 \): \[ y' = \frac{4 - 2(1.5)^2}{\sqrt{4 - (1.5)^2}} = \frac{4 - 4.5}{\sqrt{4 - 2.25}} = \frac{-0.5}{\sqrt{1.75}} < 0 \] Hàm số giảm. Bước 5: Xác định cực trị - Tại \( x = -\sqrt{2} \): Hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó đây là điểm cực tiểu. Giá trị cực tiểu: \[ y(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{4 - (-\sqrt{2})^2} = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{4 - 2} = -\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = -2 \] - Tại \( x = \sqrt{2} \): Hàm số chuyển từ tăng sang giảm, do đó đây là điểm cực đại. Giá trị cực đại: \[ y(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{4 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \] Kết luận - Hàm số tăng trên khoảng \( (-\sqrt{2}, \sqrt{2}) \). - Hàm số giảm trên các khoảng \( (-2, -\sqrt{2}) \) và \( (\sqrt{2}, 2) \). - Cực tiểu tại \( x = -\sqrt{2} \), giá trị cực tiểu là \( -2 \). - Cực đại tại \( x = \sqrt{2} \), giá trị cực đại là \( 2 \). Ví dụ 11: Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = \sqrt{-x^2 - 4x + 5} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền xác định (ĐKXĐ) Hàm số \( y = \sqrt{-x^2 - 4x + 5} \) có nghĩa khi biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ -x^2 - 4x + 5 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ -x^2 - 4x + 5 \geq 0 \implies x^2 + 4x - 5 \leq 0 \] Phân tích đa thức \( x^2 + 4x - 5 \): \[ x^2 + 4x - 5 = (x + 5)(x - 1) \] Do đó: \[ (x + 5)(x - 1) \leq 0 \] Bảng xét dấu của \( (x + 5)(x - 1) \): | \( x \) | \( -\infty \) | -5 | 1 | \( +\infty \) | |---------|----------------|----|---|----------------| | \( x + 5 \) | - | 0 | + | + | | \( x - 1 \) | - | - | 0 | + | | \( (x + 5)(x - 1) \) | + | 0 | - | + | Vậy miền xác định của hàm số là: \[ [-5, 1] \] Bước 2: Tính đạo hàm \( y' \) Hàm số \( y = \sqrt{-x^2 - 4x + 5} \) có dạng \( y = \sqrt{u} \) với \( u = -x^2 - 4x + 5 \). Áp dụng công thức đạo hàm: \[ y' = \frac{u'}{2\sqrt{u}} \] Trong đó: \[ u' = -2x - 4 \] Do đó: \[ y' = \frac{-2x - 4}{2\sqrt{-x^2 - 4x + 5}} = \frac{-2(x + 2)}{2\sqrt{-x^2 - 4x + 5}} = \frac{-(x + 2)}{\sqrt{-x^2 - 4x + 5}} \] Bước 3: Tìm các điểm dừng Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{-(x + 2)}{\sqrt{-x^2 - 4x + 5}} = 0 \] \[ -(x + 2) = 0 \implies x = -2 \] Bước 4: Xét dấu của \( y' \) Xét dấu của \( y' \) trên các khoảng \( [-5, -2] \) và \( [-2, 1] \): - Trên khoảng \( [-5, -2] \): \[ x + 2 < 0 \implies -(x + 2) > 0 \implies y' > 0 \] Hàm số đồng biến. - Trên khoảng \( [-2, 1] \): \[ x + 2 > 0 \implies -(x + 2) < 0 \implies y' < 0 \] Hàm số nghịch biến. Bước 5: Kết luận về khoảng đơn điệu và cực trị - Hàm số đồng biến trên khoảng \( [-5, -2] \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( [-2, 1] \). Tại \( x = -2 \), hàm số đạt cực đại: \[ y(-2) = \sqrt{-(-2)^2 - 4(-2) + 5} = \sqrt{-4 + 8 + 5} = \sqrt{9} = 3 \] Đáp án cuối cùng - Hàm số đồng biến trên khoảng \( [-5, -2] \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( [-2, 1] \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = -2 \) với giá trị \( y = 3 \). Ví dụ 12: Để tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số \( y = \sqrt{4x - x^2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định miền xác định (ĐKXĐ) Hàm số \( y = \sqrt{4x - x^2} \) có nghĩa khi biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ 4x - x^2 \geq 0 \] \[ x(4 - x) \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x \leq 0 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 4 \] \[ 0 \leq x \leq 4 \] Vậy miền xác định của hàm số là: \[ D = [0, 4] \] Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số Ta có: \[ y = \sqrt{4x - x^2} \] Sử dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{4x - x^2} \right) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{4x - x^2}} \cdot \frac{d}{dx} (4x - x^2) \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{4x - x^2}} \cdot (4 - 2x) \] \[ y' = \frac{4 - 2x}{2\sqrt{4x - x^2}} \] \[ y' = \frac{2(2 - x)}{2\sqrt{4x - x^2}} \] \[ y' = \frac{2 - x}{\sqrt{4x - x^2}} \] Bước 3: Tìm các điểm dừng Đặt \( y' = 0 \): \[ \frac{2 - x}{\sqrt{4x - x^2}} = 0 \] \[ 2 - x = 0 \] \[ x = 2 \] Bước 4: Xét dấu của đạo hàm Xét dấu của \( y' \) trên các khoảng \( [0, 2) \) và \( (2, 4] \): - Trên khoảng \( [0, 2) \): \[ 2 - x > 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{4x - x^2} > 0 \] \[ y' > 0 \] - Trên khoảng \( (2, 4] \): \[ 2 - x < 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{4x - x^2} > 0 \] \[ y' < 0 \] Bước 5: Kết luận về tính đơn điệu và cực trị - Hàm số đồng biến trên khoảng \( [0, 2) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (2, 4] \). Do đó, tại \( x = 2 \), hàm số đạt cực đại. Bước 6: Tính giá trị cực đại \[ y(2) = \sqrt{4(2) - (2)^2} \] \[ y(2) = \sqrt{8 - 4} \] \[ y(2) = \sqrt{4} \] \[ y(2) = 2 \] Kết luận - Hàm số đồng biến trên khoảng \( [0, 2) \). - Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (2, 4] \). - Hàm số đạt cực đại tại \( x = 2 \) với giá trị cực đại là \( y = 2 \).