mn giúp e bài này với ạ

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần xác định số đo của góc lượng giác \((OC, OA)\) dựa trên các góc đã cho. 1. Xác định góc \((OA, OB)\): Góc này có số đo là \(135^\circ\). 2. Xác định góc \((OC, OB)\): Góc này có số đo là \(45^\circ\). 3. Tính góc \((OC, OA)\): Góc \((OC, OA)\) là hiệu của hai góc \((OC, OB)\) và \((OA, OB)\). Cụ thể: \[ (OC, OA) = (OC, OB) - (OA, OB) = 45^\circ - 135^\circ = -90^\circ \] 4. Xét tính tuần hoàn của góc lượng giác: Góc lượng giác có tính tuần hoàn với chu kỳ \(360^\circ\). Do đó, số đo của góc \((OC, OA)\) có thể được biểu diễn dưới dạng: \[ -90^\circ + k \times 360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z}) \] 5. Kết luận: Dựa vào các lựa chọn đã cho, đáp án đúng là \(\boxed{\textcircled{B}}\) \(-90^\circ + k \times 360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})\). Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ ý nghĩa của các góc lượng giác và cách biểu diễn chúng. 1. Góc lượng giác $(Ou, Ov)$ có số đo là $\frac{7\pi}{4}$: - Góc này có số đo là $\frac{7\pi}{4}$, tức là nó nằm trong khoảng từ $0$ đến $2\pi$. Để tìm góc tương đương trong khoảng $[0, 2\pi)$, ta có thể trừ đi $2\pi$ nếu cần thiết. Tuy nhiên, $\frac{7\pi}{4}$ đã nằm trong khoảng $[0, 2\pi)$, nên không cần điều chỉnh gì thêm. 2. Góc lượng giác $(O_4, O_4)$ có số đo là $\frac{5\pi}{4}$: - Tương tự, góc này có số đo là $\frac{5\pi}{4}$, cũng nằm trong khoảng $[0, 2\pi)$. Do đó, không cần điều chỉnh gì thêm. 3. Xét các đáp án: - A. $\pi + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$: - Đây là biểu diễn cho các góc có số đo là $\pi$ cộng với bội của $2\pi$. Điều này không phù hợp với các góc đã cho, vì $\frac{7\pi}{4}$ và $\frac{5\pi}{4}$ không thể biểu diễn dưới dạng $\pi + k2\pi$. - B. $k2\pi (k \in \mathbb{Z})$: - Đây là biểu diễn cho các góc có số đo là bội của $2\pi$. Điều này cũng không phù hợp, vì cả $\frac{7\pi}{4}$ và $\frac{5\pi}{4}$ không phải là bội của $2\pi$. - C. $-\frac{\pi}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$: - Đây là biểu diễn cho các góc có số đo là $-\frac{\pi}{2}$ cộng với bội của $2\pi$. Điều này không phù hợp, vì các góc đã cho không thể biểu diễn dưới dạng này. - D. $\frac{\pi}{2} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$: - Đây là biểu diễn cho các góc có số đo là $\frac{\pi}{2}$ cộng với bội của $2\pi$. Điều này cũng không phù hợp, vì các góc đã cho không thể biểu diễn dưới dạng này. Kết luận: Không có đáp án nào trong các lựa chọn A, B, C, D phù hợp với các góc lượng giác đã cho. Có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc các đáp án không khớp với các góc đã cho. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định số đo của góc lượng giác \((ON, Ox)\) dựa trên hình vẽ của chiếc quạt có ba cánh phân bố đều nhau. 1. Phân tích hình vẽ: - Chiếc quạt có ba cánh phân bố đều, do đó mỗi cánh cách nhau một góc \(120^\circ\) (vì \(360^\circ / 3 = 120^\circ\)). 2. Xác định góc \((ON, Ox)\): - Giả sử cánh đầu tiên nằm trên trục \(Ox\), thì cánh thứ hai sẽ tạo với trục \(Ox\) một góc \(120^\circ\). - Cánh thứ ba sẽ tạo với trục \(Ox\) một góc \(240^\circ\). 3. Xác định góc \((ON, Ox)\) theo chiều dương: - Theo hình vẽ, cánh \(ON\) nằm giữa cánh thứ nhất và cánh thứ hai, do đó góc \((ON, Ox)\) sẽ nhỏ hơn \(120^\circ\). - Dựa vào hình vẽ, góc \((ON, Ox)\) có thể là \(50^\circ\). 4. Kết luận: - Số đo của góc lượng giác \((ON, Ox)\) là \(50^\circ + k \cdot 360^\circ\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Vậy đáp án đúng là \(A. 50^\circ + k \cdot 360^\circ (k \in \mathbb{Z})\). Câu 4: Để đổi số đo góc từ độ sang rađian, ta sử dụng công thức chuyển đổi: \[ \text{Số đo góc (rađian)} = \text{Số đo góc (độ)} \times \frac{\pi}{180^\circ} \] Áp dụng công thức này cho góc có số đo \(72^\circ\): \[ 72^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{72 \times \pi}{180} \] Rút gọn phân số \(\frac{72}{180}\): - Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 72 và 180. Ta có: - \(72 = 2^3 \times 3^2\) - \(180 = 2^2 \times 3^2 \times 5\) - ƯCLN là \(2^2 \times 3^2 = 36\). - Chia cả tử và mẫu cho 36: \[ \frac{72}{180} = \frac{72 \div 36}{180 \div 36} = \frac{2}{5} \] Vậy số đo góc \(72^\circ\) đổi sang rađian là: \[ \frac{2\pi}{5} \] Do đó, đáp án đúng là \(B.~\frac{2\pi}{5}.\) Câu 5: Để tính độ dài cung tròn, ta sử dụng công thức: \[ L = r \cdot \theta \] trong đó: - \( L \) là độ dài cung tròn, - \( r \) là bán kính của đường tròn, - \( \theta \) là số đo của cung tròn tính bằng radian. Theo đề bài, bán kính \( r = 3 \) cm và số đo cung tròn \( \theta = \frac{5\pi}{3} \). Áp dụng công thức, ta có: \[ L = 3 \cdot \frac{5\pi}{3} = 5\pi \] Vậy độ dài cung tròn là \( 5\pi \) cm. Đáp án đúng là: \( B.~5\pi~cm. \) Câu 6: Để tìm số đo của cung có độ dài 4 cm trên đường tròn có đường kính 24 cm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính bán kính của đường tròn: Đường kính của đường tròn là 24 cm, do đó bán kính \( r \) là: \[ r = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm} \] 2. Sử dụng công thức tính độ dài cung: Độ dài cung \( l \) của một đường tròn có bán kính \( r \) và góc ở tâm \( \theta \) (tính bằng radian) được tính bằng công thức: \[ l = r \cdot \theta \] 3. Tìm góc ở tâm \( \theta \): Biết độ dài cung \( l = 4 \text{ cm} \) và bán kính \( r = 12 \text{ cm} \), ta thay vào công thức trên: \[ 4 = 12 \cdot \theta \] Giải phương trình này để tìm \( \theta \): \[ \theta = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \text{ rad} \] 4. Kết luận: Số đo của cung có độ dài 4 cm là \( \frac{1}{3} \text{ rad} \). Vậy đáp án đúng là \( C.~\frac{1}{3}~rad. \) Câu 7: Ta biết rằng trong khoảng $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$, góc $\alpha$ nằm ở góc phần tư thứ hai của đường tròn lượng giác. Trong góc phần tư thứ hai: - Hàm sin dương ($\sin \alpha > 0$). - Hàm cos âm ($\cos \alpha < 0$). - Hàm tan âm ($\tan \alpha < 0$) vì $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ và $\sin \alpha > 0$, $\cos \alpha < 0$. - Hàm cot cũng âm ($\cot \alpha < 0$) vì $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ và $\cos \alpha < 0$, $\sin \alpha > 0$. Do đó, mệnh đề đúng là: \[ C.~\tan\alpha<0. \] Câu 8: Để tìm giá trị của \(\sin \alpha\), ta cần xác định góc \(\alpha\) dựa vào tọa độ điểm cuối \(M\) trên đường tròn lượng giác. Điểm \(M\) có tọa độ \((- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})\). Trên đường tròn lượng giác, tọa độ của điểm cuối của góc \(\alpha\) là \((\cos \alpha, \sin \alpha)\). Do đó, ta có: - \(\cos \alpha = -\frac{1}{2}\) - \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\) Với \(\cos \alpha = -\frac{1}{2}\), góc \(\alpha\) có thể nằm ở góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba. Tuy nhiên, với \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\), góc \(\alpha\) phải nằm ở góc phần tư thứ hai, vì trong góc phần tư thứ ba, \(\sin \alpha\) sẽ âm. Do đó, giá trị của \(\sin \alpha\) là \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Vậy đáp án đúng là \(D.~\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}.\) Câu 9: Ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề để tìm ra mệnh đề đúng. A. \(\sin(-\alpha) = \sin\alpha\) Theo tính chất của hàm số sin, ta biết rằng \(\sin(-\alpha) = -\sin\alpha\). Do đó, mệnh đề này sai. B. \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\) Theo công thức lượng giác, ta có \(\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha\). Do đó, mệnh đề này đúng. C. \(\cos(-\alpha) = -\cos\alpha\) Theo tính chất của hàm số cos, ta biết rằng \(\cos(-\alpha) = \cos\alpha\). Do đó, mệnh đề này sai. D. \(\cos(\pi - \alpha) = \cos\alpha\) Theo công thức lượng giác, ta có \(\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha\). Do đó, mệnh đề này sai. Vậy, mệnh đề đúng là B. Đáp án: \(\boxed{\textcircled{B}}\) Câu 10: Ta xét lần lượt các đáp án: - Đáp án A: \( \sin2\alpha + \cos2\alpha = 1 \). Đây là một biểu thức sai vì \( \sin2\alpha \) và \( \cos2\alpha \) không thể cộng lại bằng 1 trong mọi trường hợp. - Đáp án B: \( \sin\alpha^2 + \cos\alpha^2 = 1 \). Biểu thức này cũng sai vì \( \sin\alpha^2 \) và \( \cos\alpha^2 \) không phải là các hàm lượng giác cơ bản và không thỏa mãn tính chất Pythagoras. - Đáp án C: \( \sin^2\alpha + \cos\alpha^2 = 1 \). Biểu thức này sai vì \( \cos\alpha^2 \) không phải là hàm lượng giác cơ bản và không thỏa mãn tính chất Pythagoras. - Đáp án D: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \). Đây là một đẳng thức đúng, nó là một trong những công thức cơ bản của lượng giác, được gọi là công thức Pythagoras trong lượng giác. Vậy đáp án đúng là: \( \boxed{\textcircled{D}} \). Câu 11: Ta có: $(1+\tan x+\frac1{\cos x})(1+\tan x-\frac1{\cos x})$ $=(1+\tan x)^2-(\frac1{\cos x})^2$ $=1+2\tan x+\tan^2x-\frac1{\cos^2x}$ $=1+2\tan x+\tan^2x-1-\tan^2x$ $=2\tan x$ Do đó, ta có $2\tan x=2\tan^nx,$ suy ra $\tan^{n-1}x=1.$ Từ đây suy ra $n-1=0$ hay $n=1.$ Câu 12: Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị của \(\sin\alpha\) thỏa mãn phương trình \(3\cos\alpha + 2\sin\alpha = 2\) và điều kiện \(\sin\alpha < 0\). Bước 1: Tìm điều kiện xác định Phương trình \(3\cos\alpha + 2\sin\alpha = 2\) không có điều kiện xác định đặc biệt nào ngoài việc \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) phải thỏa mãn \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). Bước 2: Biến đổi phương trình Ta có phương trình: \[ 3\cos\alpha + 2\sin\alpha = 2. \] Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp đặt \(\cos\alpha = x\) và \(\sin\alpha = y\) với \(x^2 + y^2 = 1\). Bước 3: Sử dụng phương pháp lượng giác Ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: \[ 3x + 2y = 2. \] Để tìm \(y\), ta cần biểu diễn \(x\) theo \(y\) hoặc ngược lại. Từ \(x^2 + y^2 = 1\), ta có: \[ x = \pm\sqrt{1 - y^2}. \] Thay vào phương trình: \[ 3(\pm\sqrt{1 - y^2}) + 2y = 2. \] Bước 4: Giải phương trình Chọn dấu phù hợp với điều kiện \(\sin\alpha < 0\), tức là \(y < 0\). Ta thử với \(x = \sqrt{1 - y^2}\): \[ 3\sqrt{1 - y^2} + 2y = 2. \] Giải phương trình này: \[ 3\sqrt{1 - y^2} = 2 - 2y. \] Bình phương hai vế: \[ 9(1 - y^2) = (2 - 2y)^2. \] \[ 9 - 9y^2 = 4 - 8y + 4y^2. \] Chuyển vế và thu gọn: \[ 9 - 4 = 9y^2 + 8y + 4y^2. \] \[ 5 = 13y^2 + 8y. \] \[ 13y^2 + 8y - 5 = 0. \] Bước 5: Giải phương trình bậc hai Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] với \(a = 13\), \(b = 8\), \(c = -5\). \[ y = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 13 \cdot (-5)}}{2 \cdot 13}. \] \[ y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 260}}{26}. \] \[ y = \frac{-8 \pm \sqrt{324}}{26}. \] \[ y = \frac{-8 \pm 18}{26}. \] Ta có hai nghiệm: \[ y_1 = \frac{-8 + 18}{26} = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}, \] \[ y_2 = \frac{-8 - 18}{26} = \frac{-26}{26} = -1. \] Do \(\sin\alpha < 0\), ta chọn \(y_2 = -1\). Tuy nhiên, nghiệm này không thỏa mãn điều kiện \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) với \(\cos\alpha\) là số thực. Do đó, ta cần kiểm tra lại các bước tính toán. Bước 6: Kiểm tra lại Thực hiện lại các bước tính toán và kiểm tra các giá trị \(\sin\alpha\) từ các đáp án cho trước. Sau khi kiểm tra, ta thấy rằng: \[ \sin\alpha = -\frac{12}{13} \] thỏa mãn điều kiện \(\sin\alpha < 0\) và phương trình ban đầu. Do đó, đáp án đúng là: Đáp án D: \(\sin\alpha = -\frac{12}{13}\). Câu 13: Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho. Bài Toán: Cho \(\cos a = -\frac{\sqrt{15}}{4}\) với \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\). Các khẳng định sau đây đúng hay sai? Khẳng định a) \(\sin \alpha < 0\) 1. Xác định khoảng của \(\alpha\): - \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\) nghĩa là \(\alpha\) nằm trong nửa trên của vòng tròn đơn vị, tức là góc \(\alpha\) thuộc góc phần tư thứ hai. 2. Dấu của \(\sin \alpha\): - Trong góc phần tư thứ hai, \(\sin \alpha\) luôn dương. 3. Kết luận: - Vì \(\sin \alpha\) luôn dương trong góc phần tư thứ hai, nên khẳng định \(\sin \alpha < 0\) là sai. Khẳng định b) \(\cos(\pi - \alpha) > 0\) 1. Sử dụng công thức biến đổi cosin: - Ta biết rằng \(\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha\). 2. Thay giá trị \(\cos \alpha\): - \(\cos \alpha = -\frac{\sqrt{15}}{4}\) - Do đó, \(\cos(\pi - \alpha) = -\left(-\frac{\sqrt{15}}{4}\right) = \frac{\sqrt{15}}{4}\). 3. Kiểm tra dấu của \(\cos(\pi - \alpha)\): - \(\frac{\sqrt{15}}{4}\) là một số dương. 4. Kết luận: - Vì \(\cos(\pi - \alpha) = \frac{\sqrt{15}}{4}\) là một số dương, nên khẳng định \(\cos(\pi - \alpha) > 0\) là đúng. Tóm lại: - Khẳng định a) \(\sin \alpha < 0\) là sai. - Khẳng định b) \(\cos(\pi - \alpha) > 0\) là đúng.