giải bài tập

Câu 8: Để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = -x^2 + 4 \), ta cần xét dấu của đạo hàm này trên các khoảng khác nhau. Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -x^2 + 4 = 0 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = 2 \text{ hoặc } x = -2 \] Bước 2: Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), và \( (2, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, -2) \): Chọn \( x = -3 \): \[ f'(-3) = -(-3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5 < 0 \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -2) \), suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Trên khoảng \( (-2, 2) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = -(0)^2 + 4 = 4 > 0 \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-2, 2) \), suy ra hàm số đồng biến trên khoảng này. - Trên khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = -(3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5 < 0 \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (2, +\infty) \), suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng này. Từ các kết quả trên, khẳng định đúng là: B. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-2; 2) \) Đáp án: B. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-2; 2) \) Câu 9: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là đồng biến trên miền xác định của nó, chúng ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm của mỗi hàm số. Hàm số sẽ đồng biến nếu đạo hàm của nó luôn dương trên miền xác định. A. \( y = x^3 - 3x \) Đạo hàm: \[ y' = 3x^2 - 3 \] Phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Ta thấy rằng \( y' > 0 \) khi \( x < -1 \) hoặc \( x > 1 \), và \( y' < 0 \) khi \( -1 < x < 1 \). Do đó, hàm số này không đồng biến trên toàn bộ miền xác định. B. \( y = x^3 + 3x \) Đạo hàm: \[ y' = 3x^2 + 3 \] Phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 + 3 = 0 \] \[ x^2 + 1 = 0 \] \[ x^2 = -1 \] Phương trình này vô nghiệm thực, do đó \( y' > 0 \) với mọi \( x \). Hàm số này đồng biến trên toàn bộ miền xác định. C. \( y = \frac{x-1}{x+1} \) Điều kiện xác định: \( x \neq -1 \) Đạo hàm: \[ y' = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2} \] Ta thấy rằng \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq -1 \). Hàm số này đồng biến trên miền xác định của nó. D. \( y = \frac{x^2 - x + 1}{x + 1} \) Điều kiện xác định: \( x \neq -1 \) Đạo hàm: \[ y' = \frac{(2x - 1)(x + 1) - (x^2 - x + 1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - x - 1 - x^2 + x - 1}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x - 2}{(x + 1)^2} \] Phương trình \( y' = 0 \): \[ x^2 + 2x - 2 = 0 \] \[ x = -1 \pm \sqrt{3} \] Do đó, \( y' \) thay đổi dấu tại \( x = -1 \pm \sqrt{3} \), nên hàm số này không đồng biến trên toàn bộ miền xác định. Kết luận: Hàm số đồng biến trên miền xác định của nó là: \[ B.~y = x^3 + 3x \] Câu 10: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến đồ thị của hàm số bậc ba \( y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), ta cần phân tích từng ý một cách chi tiết. a) Giá trị cực đại của hàm số bằng 3. Quan sát đồ thị, ta thấy điểm cực đại của hàm số nằm trên trục tung tại \( y = 3 \). Điều này có nghĩa là giá trị cực đại của hàm số là 3. Vậy, ý a) là đúng. b) Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1;3) \). Để hàm số đồng biến trên khoảng \( (1;3) \), đạo hàm của hàm số \( f'(x) \) phải dương trên khoảng này. - Đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] Quan sát đồ thị, trên khoảng \( (1;3) \), đồ thị đi lên, cho thấy hàm số đồng biến. Vậy, ý b) là đúng. c) Hàm số nghịch biến trên đoạn \( [1;5] \). Để hàm số nghịch biến trên đoạn \( [1;5] \), đạo hàm \( f'(x) \) phải không dương trên đoạn này. Quan sát đồ thị, từ \( x = 1 \) đến \( x = 5 \), đồ thị có đoạn đi xuống và đoạn đi lên, không hoàn toàn nghịch biến. Vậy, ý c) là sai. d) \( f(0) = 5 \). Giá trị của hàm số tại \( x = 0 \) là \( f(0) = d \). Quan sát đồ thị, điểm cắt trục tung là \( y = 5 \). Do đó, \( f(0) = 5 \). Vậy, ý d) là đúng. Tóm lại: - a) Đúng - b) Đúng - c) Sai - d) Đúng Câu 11: Để kiểm tra các khẳng định về tính chất của hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x + 6}{x - 2} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = \frac{2x^2 - 3x + 6}{x - 2} \) có mẫu số \( x - 2 \neq 0 \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{2\} \] Bước 2: Tính đạo hàm Để tìm các điểm cực trị và xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta cần tính đạo hàm của \( y \). \[ y = \frac{2x^2 - 3x + 6}{x - 2} \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(4x - 3)(x - 2) - (2x^2 - 3x + 6)}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{4x^2 - 8x - 3x + 6 - 2x^2 + 3x - 6}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 8x}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x - 4)}{(x - 2)^2} \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm Để xét tính đơn điệu của hàm số, chúng ta cần xét dấu của \( y' \). \[ y' = \frac{2x(x - 4)}{(x - 2)^2} \] Mẫu số \( (x - 2)^2 \) luôn dương ngoại trừ tại \( x = 2 \). Do đó, dấu của \( y' \) phụ thuộc vào tử số \( 2x(x - 4) \). - \( 2x(x - 4) > 0 \) khi \( x < 0 \) hoặc \( x > 4 \) - \( 2x(x - 4) < 0 \) khi \( 0 < x < 4 \) Bước 4: Kiểm tra các khẳng định Khẳng định a: Hàm số đạt cực đại tại điểm \( x = 0 \) - Tại \( x = 0 \), đạo hàm \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương (từ \( 0 < x < 4 \) sang \( x < 0 \)), do đó hàm số đạt cực đại tại \( x = 0 \). Khẳng định a: Đúng Khẳng định b: Hàm số nghịch biến trên \( (2; 4) \) - Trên khoảng \( (2; 4) \), \( 2x(x - 4) < 0 \), do đó \( y' < 0 \). Hàm số nghịch biến trên \( (2; 4) \). Khẳng định b: Đúng Khẳng định c: Giá trị cực tiểu của hàm số bằng 4 - Để tìm giá trị cực tiểu, chúng ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Từ đồ thị và đạo hàm, ta thấy rằng hàm số không đạt giá trị cực tiểu bằng 4. Khẳng định c: Sai Khẳng định d: Hàm số nghịch biến trên \( (0; 4) \) - Trên khoảng \( (0; 4) \), \( 2x(x - 4) < 0 \), do đó \( y' < 0 \). Hàm số nghịch biến trên \( (0; 4) \). Khẳng định d: Đúng Kết luận - Khẳng định a: Đúng - Khẳng định b: Đúng - Khẳng định c: Sai - Khẳng định d: Đúng Câu 12: Để giải quyết các phần của bài toán, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng khẳng định và lập luận từng bước. Phần a) Kiểm tra B(x) B(x) là số tiền bán được khi bán x mét vải lụa với giá 220 nghìn đồng/mét: \[ B(x) = 220x \] Khẳng định này đúng vì số tiền bán được chính là giá bán nhân với số lượng bán ra. Phần b) Kiểm tra L(x) L(x) là lợi nhuận thu được khi bán x mét vải lụa, được tính bằng số tiền bán trừ đi tổng chi phí sản xuất: \[ L(x) = B(x) - C(x) \] \[ L(x) = 220x - (x^3 - 3x^2 - 20x + 500) \] \[ L(x) = 220x - x^3 + 3x^2 + 20x - 500 \] \[ L(x) = -x^3 + 3x^2 + 240x - 500 \] Khẳng định này cũng đúng. Phần c) Kiểm tra nếu hộ này bán ra mỗi ngày từ 10 mét đến 18 mét vải lụa thì lợi nhuận giảm Để kiểm tra xem lợi nhuận có giảm trong khoảng từ 10 mét đến 18 mét, chúng ta cần xét đạo hàm của L(x): \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 + 240x - 500) \] \[ L'(x) = -3x^2 + 6x + 240 \] Ta cần kiểm tra dấu của L'(x) trong khoảng từ 10 đến 18: \[ L'(10) = -3(10)^2 + 6(10) + 240 = -300 + 60 + 240 = 0 \] \[ L'(18) = -3(18)^2 + 6(18) + 240 = -972 + 108 + 240 = -624 \] Do đó, trong khoảng từ 10 đến 18, đạo hàm L'(x) chuyển từ 0 xuống âm, tức là lợi nhuận giảm. Khẳng định này đúng. Phần d) Kiểm tra nếu hộ này bán ra mỗi ngày 11 mét vải lụa thì đạt lợi nhuận cao nhất Để kiểm tra xem lợi nhuận có đạt cao nhất tại x = 11, chúng ta cần kiểm tra đạo hàm L'(x) tại x = 11: \[ L'(11) = -3(11)^2 + 6(11) + 240 = -363 + 66 + 240 = -57 \] Do L'(11) < 0, lợi nhuận đang giảm tại x = 11. Do đó, khẳng định này sai. Kết luận - Phần a) Đúng. - Phần b) Đúng. - Phần c) Đúng. - Phần d) Sai. Câu 13: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm khoảng $(a; b)$ sao cho hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng đó và $b - a$ lớn nhất. Điều này có nghĩa là đạo hàm $f'(x)$ phải âm trên khoảng $(a; b)$. Bước 1: Tìm các điểm tới hạn của $f'(x)$ Ta có: \[ f'(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 2x) \] Đặt $f'(x) = 0$ để tìm các điểm tới hạn: \[ (x^2 - 4)(x^2 - 2x) = 0 \] Giải phương trình này: \[ x^2 - 4 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 - 2x = 0 \] \[ x^2 = 4 \quad \text{hoặc} \quad x(x - 2) = 0 \] \[ x = \pm 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Vậy các điểm tới hạn là $x = -2$, $x = 0$, và $x = 2$. Bước 2: Xác định dấu của $f'(x)$ trên các khoảng Chúng ta sẽ kiểm tra dấu của $f'(x)$ trên các khoảng $(-\infty, -2)$, $(-2, 0)$, $(0, 2)$, và $(2, \infty)$. - Trên khoảng $(-\infty, -2)$: Chọn $x = -3$: \[ f'(-3) = ((-3)^2 - 4)((-3)^2 - 2(-3)) = (9 - 4)(9 + 6) = 5 \cdot 15 = 75 > 0 \] - Trên khoảng $(-2, 0)$: Chọn $x = -1$: \[ f'(-1) = ((-1)^2 - 4)((-1)^2 - 2(-1)) = (1 - 4)(1 + 2) = (-3) \cdot 3 = -9 < 0 \] - Trên khoảng $(0, 2)$: Chọn $x = 1$: \[ f'(1) = (1^2 - 4)(1^2 - 2(1)) = (1 - 4)(1 - 2) = (-3) \cdot (-1) = 3 > 0 \] - Trên khoảng $(2, \infty)$: Chọn $x = 3$: \[ f'(3) = (3^2 - 4)(3^2 - 2(3)) = (9 - 4)(9 - 6) = 5 \cdot 3 = 15 > 0 \] Bước 3: Xác định khoảng $(a; b)$ sao cho $f'(x) < 0$ Từ các kết quả trên, ta thấy rằng $f'(x) < 0$ trên khoảng $(-2, 0)$. Do đó, hàm số $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2, 0)$ và $b - a$ lớn nhất khi $a = -2$ và $b = 0$. Bước 4: Tính $a + b$ \[ a + b = -2 + 0 = -2 \] Vậy, $a + b = -2$. Câu 14: Để tìm thời điểm nồng độ thuốc trong máu \( C(x) \) bắt đầu giảm, chúng ta cần tìm điểm cực đại của hàm số \( C(x) = \frac{40x}{x^2 + 40} \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( C(x) \): \[ C'(x) = \frac{(40)(x^2 + 40) - (40x)(2x)}{(x^2 + 40)^2} \] \[ C'(x) = \frac{40x^2 + 1600 - 80x^2}{(x^2 + 40)^2} \] \[ C'(x) = \frac{-40x^2 + 1600}{(x^2 + 40)^2} \] Bước 2: Đặt \( C'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ \frac{-40x^2 + 1600}{(x^2 + 40)^2} = 0 \] \[ -40x^2 + 1600 = 0 \] \[ -40x^2 = -1600 \] \[ x^2 = 40 \] \[ x = \sqrt{40} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{40} \] Vì \( x \) là thời gian nên chỉ lấy giá trị dương: \[ x = \sqrt{40} \approx 6.32 \] Bước 3: Kiểm tra dấu của \( C'(x) \) trước và sau điểm \( x = \sqrt{40} \): - Khi \( x < \sqrt{40} \), \( C'(x) > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( x > \sqrt{40} \), \( C'(x) < 0 \) (hàm số giảm). Do đó, tại \( x = \sqrt{40} \approx 6.32 \) phút, nồng độ thuốc trong máu \( C(x) \) đạt cực đại và bắt đầu giảm. Vậy thời điểm nồng độ thuốc trong máu \( C(x) \) bắt đầu giảm là khoảng 6.32 phút.