Tìm 7 số nguyên dương sao cho tích các bình phương của chúng bằng 2 lần tổng các bình phương của chúng.

Question

Accepted Answer

Gọi 7 số nguyên dương cần tìm là $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$.

Theo đề bài, ta có phương trình:
$$a_1^2 \cdot a_2^2 \cdot a_3^2 \cdot a_4^2 \cdot a_5^2 \cdot a_6^2 \cdot a_7^2 = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2 + a_5^2 + a_6^2 + a_7^2)$$

Ta sẽ thử với các số nguyên dương nhỏ để tìm nghiệm.

Giả sử tất cả các số đều bằng 1:
$$1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 = 2(1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2)$$
$$1 = 2 \cdot 7$$
$$1 = 14$$ (sai)

Giả sử 6 số bằng 1 và 1 số bằng 2:
$$1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 2^2 = 2(1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2)$$
$$4 = 2(6 + 4)$$
$$4 = 2 \cdot 10$$
$$4 = 20$$ (sai)

Giả sử 5 số bằng 1 và 2 số bằng 2:
$$1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 = 2(1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2)$$
$$16 = 2(5 + 8)$$
$$16 = 2 \cdot 13$$
$$16 = 26$$ (sai)

Giả sử 4 số bằng 1 và 3 số bằng 2:
$$1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 = 2(1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2)$$
$$64 = 2(4 + 12)$$
$$64 = 2 \cdot 16$$
$$64 = 32$$ (sai)

Giả sử 3 số bằng 1 và 4 số bằng 2:
$$1^2 \cdot 1^2 \cdot 1^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 = 2(1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2)$$
$$256 = 2(3 + 16)$$
$$256 = 2 \cdot 19$$
$$256 = 38$$ (sai)

Giả sử 2 số bằng 1 và 5 số bằng 2:
$$1^2 \cdot 1^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 = 2(1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2)$$
$$1024 = 2(2 + 20)$$
$$1024 = 2 \cdot 22$$
$$1024 = 44$$ (sai)

Giả sử 1 số bằng 1 và 6 số bằng 2:
$$1^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 = 2(1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2)$$
$$4096 = 2(1 + 24)$$
$$4096 = 2 \cdot 25$$
$$4096 = 50$$ (sai)

Giả sử tất cả các số đều bằng 2:
$$2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 \cdot 2^2 = 2(2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2)$$
$$16384 = 2(28)$$
$$16384 = 56$$ (sai)

Như vậy, không có bộ 7 số nguyên dương nào thỏa mãn điều kiện của đề bài.