Giai hiuo to voi

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = -\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 1 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số \( y \) theo \( x \) là: \[ y' = -x^2 - 4x + 3 \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) Giải phương trình \( -x^2 - 4x + 3 = 0 \): \[ -x^2 - 4x + 3 = 0 \] \[ x^2 + 4x - 3 = 0 \] Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{28}}{2} \] \[ x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{7}}{2} \] \[ x = -2 \pm \sqrt{7} \] Vậy các nghiệm của phương trình \( y' = 0 \) là: \[ x_1 = -2 + \sqrt{7} \] \[ x_2 = -2 - \sqrt{7} \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị Để xác định tính chất của các điểm cực trị, chúng ta sẽ kiểm tra dấu của đạo hàm \( y' \) trong các khoảng \( (-\infty, -2 - \sqrt{7}) \), \( (-2 - \sqrt{7}, -2 + \sqrt{7}) \), và \( (-2 + \sqrt{7}, \infty) \). Khoảng \( (-\infty, -2 - \sqrt{7}) \): Chọn \( x = -5 \): \[ y'(-5) = -(-5)^2 - 4(-5) + 3 = -25 + 20 + 3 = -2 \] Dấu âm, tức là \( y' < 0 \). Khoảng \( (-2 - \sqrt{7}, -2 + \sqrt{7}) \): Chọn \( x = -1 \): \[ y'(-1) = -(-1)^2 - 4(-1) + 3 = -1 + 4 + 3 = 6 \] Dấu dương, tức là \( y' > 0 \). Khoảng \( (-2 + \sqrt{7}, \infty) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = -(0)^2 - 4(0) + 3 = 3 \] Dấu dương, tức là \( y' > 0 \). Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị \[ y(-2 + \sqrt{7}) = -\frac{1}{3}(-2 + \sqrt{7})^3 - 2(-2 + \sqrt{7})^2 + 3(-2 + \sqrt{7}) - 1 \] \[ y(-2 - \sqrt{7}) = -\frac{1}{3}(-2 - \sqrt{7})^3 - 2(-2 - \sqrt{7})^2 + 3(-2 - \sqrt{7}) - 1 \] Kết luận Hàm số đạt giá trị lớn nhất (GTLN) tại \( x = -2 + \sqrt{7} \) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) tại \( x = -2 - \sqrt{7} \). \[ \text{GTLN của } y \text{ là } y(-2 + \sqrt{7}) \] \[ \text{GTNN của } y \text{ là } y(-2 - \sqrt{7}) \]