Giải hộ mình câu này với các bạn 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên $SA=a\sqrt2.$ .ính thể tích khki chóp.

Question

Accepted Answer

Để tính thể tích của hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy:

Hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông $ ABCD $ với cạnh $ a $. Tâm của hình vuông $ ABCD $ là giao điểm của hai đường chéo, ký hiệu là $ O $. Độ dài đường chéo của hình vuông là $ AC = BD = a\sqrt{2} $, do đó bán kính $ R $ của đường tròn ngoại tiếp đáy là:
   $$
   R = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}
   $$

2. Xác định chiều cao của hình chóp:

Vì hình chóp là tứ giác đều, nên $ SA = SB = SC = SD = a\sqrt{2} $. Để tìm chiều cao $ SO $ của hình chóp, ta sử dụng tam giác vuông $ \triangle SAO $ với $ SA = a\sqrt{2} $ và $ AO = R = \frac{a\sqrt{2}}{2} $.

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ \triangle SAO $:
   $$
   SA^2 = SO^2 + AO^2
   $$
   $$
   (a\sqrt{2})^2 = SO^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2
   $$
   $$
   2a^2 = SO^2 + \frac{a^2}{2}
   $$
   $$
   SO^2 = 2a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{4a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}
   $$
   $$
   SO = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}
   $$

3. Tính thể tích của hình chóp:

Thể tích $ V $ của hình chóp được tính theo công thức:
   $$
   V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}
   $$
   Diện tích đáy $ ABCD $ là:
   $$
   \text{Diện tích đáy} = a^2
   $$
   Do đó, thể tích của hình chóp là:
   $$
   V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a^3\sqrt{6}}{6}
   $$

Vậy, thể tích của hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ là $ \frac{a^3\sqrt{6}}{6} $.