giải câu trong ảnh

Câu 5: Để chứng minh đẳng thức vector \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{AC^\prime}\), ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các vector trong hình hộp: - Hình hộp ABCD A'B'C'D' có các cạnh song song và bằng nhau. - Vector \(\overrightarrow{BC}\) là vector từ B đến C. - Vector \(\overrightarrow{DC}\) là vector từ D đến C. - Vector \(\overrightarrow{AA^\prime}\) là vector từ A đến A'. 2. Biểu diễn vector \(\overrightarrow{AC^\prime}\): - Vector \(\overrightarrow{AC^\prime}\) là vector từ A đến C'. 3. Phân tích vector \(\overrightarrow{AC^\prime}\): - Ta có thể đi từ A đến C' qua các điểm B, C, D, A' như sau: \[ \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC^\prime} \] - Trong đó, \(\overrightarrow{CC^\prime} = \overrightarrow{AA^\prime}\) vì các cạnh của hình hộp song song và bằng nhau. 4. Biểu diễn vector \(\overrightarrow{AB}\): - Vector \(\overrightarrow{AB}\) có thể được biểu diễn qua \(\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{DC}\) như sau: \[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} \] 5. Thay thế và chứng minh: - Thay \(\overrightarrow{AB}\) vào biểu thức của \(\overrightarrow{AC^\prime}\): \[ \overrightarrow{AC^\prime} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA^\prime} \] - Do \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}\), ta có: \[ \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AA^\prime} \] - Vì \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC}\), ta có: \[ \overrightarrow{AC^\prime} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA^\prime} \] Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA^\prime} = \overrightarrow{AC^\prime}\).