Câu 8.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy a, chiều cao h.
a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và CD.
b. Tính góc giữa hai đường thẳng SC và BD.

Question

Accepted Answer

Câu 8:
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối $ SA $ và $ CD $.

1. Xác định vị trí các điểm:
   - Giả sử đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $ nằm trong mặt phẳng $ Oxy $ với tâm $ O $ trùng với gốc tọa độ.
   - Đặt $ A \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) $, $ B \left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) $, $ C \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) $, $ D \left(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) $.
   - Đỉnh $ S $ có tọa độ $ \left(0, 0, h\right) $ vì $ S $ là đỉnh của hình chóp tứ giác đều và $ SO $ là đường cao.

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ SA $ và $ CD $:
   - Đường thẳng $ SA $ có phương trình tham số: $ \mathbf{r}_{SA} = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) + t\left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h\right) $.
   - Đường thẳng $ CD $ có phương trình tham số: $ \mathbf{r}_{CD} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) + s\left(-a, 0, 0\right) $.

3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
   - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được tính bằng công thức:
     $$
     d = \frac{|(\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2) \cdot (\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1)|}{|\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2|}
     $$
     với $ \mathbf{b}_1 = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h\right) $, $ \mathbf{b}_2 = \left(-a, 0, 0\right) $, $ \mathbf{a}_1 = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0\right) $, $ \mathbf{a}_2 = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right) $.

- Tính tích có hướng $ \mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2 $:
     $$
     \mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2 = \begin{vmatrix}
     \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
     \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & h \
     -a & 0 & 0
     \end{vmatrix} = \left(0, -ah, \frac{a^2}{2}\right)
     $$

- Tính $ \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1 = \left(a, a, 0\right) $.

- Tính $ (\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2) \cdot (\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1) $:
     $$
     (\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2) \cdot (\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1) = 0 \cdot a + (-ah) \cdot a + \frac{a^2}{2} \cdot 0 = -a^2h
     $$

- Tính độ lớn của $ \mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2 $:
     $$
     |\mathbf{b}_1 \times \mathbf{b}_2| = \sqrt{0^2 + (-ah)^2 + \left(\frac{a^2}{2}\right)^2} = \sqrt{a^2h^2 + \frac{a^4}{4}}
     $$

- Khoảng cách $ d $:
     $$
     d = \frac{|-a^2h|}{\sqrt{a^2h^2 + \frac{a^4}{4}}} = \frac{a^2h}{\sqrt{a^2h^2 + \frac{a^4}{4}}}
     $$

b. Tính góc giữa hai đường thẳng $ SC $ và $ BD $.

1. Xác định vectơ chỉ phương:
   - Vectơ chỉ phương của $ SC $ là $ \mathbf{v}_{SC} = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h\right) $.
   - Vectơ chỉ phương của $ BD $ là $ \mathbf{v}_{BD} = \left(-a, a, 0\right) $.

2. Tính góc giữa hai vectơ:
   - Góc giữa hai vectơ được tính bằng công thức:
     $$
     \cos \theta = \frac{\mathbf{v}_{SC} \cdot \mathbf{v}_{BD}}{|\mathbf{v}_{SC}| \cdot |\mathbf{v}_{BD}|}
     $$

- Tính tích vô hướng $ \mathbf{v}_{SC} \cdot \mathbf{v}_{BD} $:
     $$
     \mathbf{v}_{SC} \cdot \mathbf{v}_{BD} = \frac{a}{2} \cdot (-a) + \frac{a}{2} \cdot a + h \cdot 0 = 0
     $$

- Do tích vô hướng bằng 0, nên góc giữa hai đường thẳng là $ 90^\circ $.

Vậy, khoảng cách giữa hai cạnh đối $ SA $ và $ CD $ là $ \frac{a^2h}{\sqrt{a^2h^2 + \frac{a^4}{4}}} $ và góc giữa hai đường thẳng $ SC $ và $ BD $ là $ 90^\circ $.

Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy a, chiều cao h. a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và CD. b. Tính góc giữa hai đường thẳng SC và BD.