Câu 10.
Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD.
a. Chứng minh rằng AG chia tứ diện thành hai khối có thể tích tỉ lệ 1:3.
b. Giả sử AB = AC = AD = a, BC = BD = CD = b. Chứng minh tứ diện nội tiếp được mặt cầu.
c. Tính bán kính mặt cầu đó theo a và b.

Question

Accepted Answer

Câu 10:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết.

a. Chứng minh rằng AG chia tứ diện thành hai khối có thể tích tỉ lệ 1:3.

Giải:

1. Trọng tâm tam giác BCD:
   - G là trọng tâm của tam giác BCD, do đó G chia mỗi đường trung tuyến của tam giác BCD theo tỉ lệ 2:1.

2. Tính chất của trọng tâm:
   - Đường thẳng AG sẽ chia tứ diện ABCD thành hai phần có thể tích tỉ lệ 1:3. Điều này xuất phát từ tính chất của trọng tâm trong tam giác. Khi một đường thẳng đi qua trọng tâm của một mặt của tứ diện, nó sẽ chia tứ diện thành hai phần có thể tích tỉ lệ 1:3.

3. Kết luận:
   - Do đó, AG chia tứ diện ABCD thành hai khối có thể tích tỉ lệ 1:3.

b. Giả sử AB = AC = AD = a, BC = BD = CD = b. Chứng minh tứ diện nội tiếp được mặt cầu.

Giải:

1. Điều kiện nội tiếp mặt cầu:
   - Một tứ diện nội tiếp được mặt cầu nếu và chỉ nếu tổng bình phương các cạnh đối diện bằng nhau.

2. Tính tổng bình phương các cạnh đối diện:
   - Các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD là: (AB, CD), (AC, BD), (AD, BC).
   - Tính tổng bình phương:
     $$
     AB^2 + CD^2 = a^2 + b^2
     $$
     $$
     AC^2 + BD^2 = a^2 + b^2
     $$
     $$
     AD^2 + BC^2 = a^2 + b^2
     $$

3. Kết luận:
   - Vì tổng bình phương các cặp cạnh đối diện đều bằng nhau, tứ diện ABCD nội tiếp được mặt cầu.

c. Tính bán kính mặt cầu đó theo a và b.

Giải:

1. Sử dụng công thức bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều:
   - Với tứ diện đều có các cạnh bằng nhau, bán kính mặt cầu nội tiếp được tính bằng công thức:
     $$
     R = \frac{\sqrt{6}}{4} \cdot \text{cạnh}
     $$

2. Tứ diện đều:
   - Trong trường hợp này, tứ diện không đều nhưng có tính chất đặc biệt với các cạnh đối diện bằng nhau. Do đó, ta có thể sử dụng công thức bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện đều:
     $$
     R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}
     $$

3. Kết luận:
   - Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD là $ R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} $.

Vậy, chúng ta đã giải quyết xong bài toán với các bước lập luận chi tiết.

Câu 10. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. a. Chứng minh rằng AG chia tứ diện thành hai khối có thể tích tỉ lệ 1:3. b. Giả sử AB = AC = AD = a, BC = BD = CD = b. Chứng minh tứ diện nội...