Câu $\rm 1.$

Câu 1: Để giải bài toán này, ta cần tìm góc giữa đường thẳng \( SA \) và mặt phẳng \( (AMN) \). Để làm điều này, ta cần tìm góc giữa \( SA \) và đường thẳng vuông góc với \( SA \) trong mặt phẳng \( (AMN) \). Bước 1: Tìm tọa độ các điểm Giả sử \( A \) nằm tại gốc tọa độ \( (0, 0, 0) \), \( SA \) là trục \( z \) nên \( S(0, 0, \sqrt{7}) \). Bước 2: Tìm tọa độ điểm \( B \) và \( C \) Vì \( \widehat{BAC} = 120^\circ \), ta có thể đặt: - \( B(1, 0, 0) \) - \( C(x, y, 0) \) với \( AC = 2 \). Sử dụng công thức khoảng cách: \[ \sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = 2 \Rightarrow x^2 + y^2 = 4 \] Sử dụng công thức cosin cho tam giác \( \triangle ABC \): \[ \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot x + 0 \cdot y}{1 \cdot 2} = \frac{x}{2} \] \[ x = -1 \] Thay vào phương trình \( x^2 + y^2 = 4 \): \[ (-1)^2 + y^2 = 4 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \sqrt{3} \text{ hoặc } y = -\sqrt{3} \] Chọn \( C(-1, \sqrt{3}, 0) \). Bước 3: Tìm tọa độ điểm \( M \) và \( N \) - \( M \) là hình chiếu của \( A \) trên \( SB \), nên \( M \) nằm trên đường thẳng \( SB \) và \( AM \perp SB \). - \( N \) là hình chiếu của \( A \) trên \( SC \), nên \( N \) nằm trên đường thẳng \( SC \) và \( AN \perp SC \). Bước 4: Tính góc giữa \( SA \) và \( (AMN) \) Do \( SA \perp (ABC) \), nên \( SA \) cũng vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng \( (ABC) \). Để tìm góc giữa \( SA \) và \( (AMN) \), ta cần tìm góc giữa \( SA \) và đường thẳng vuông góc với \( SA \) trong mặt phẳng \( (AMN) \). Bước 5: Tính toán Vì \( SA \) vuông góc với mặt phẳng \( (ABC) \), và \( (AMN) \) là một mặt phẳng con của \( (ABC) \), nên góc giữa \( SA \) và \( (AMN) \) là \( 90^\circ \). Do đó, cosin của góc này là: \[ \cos(90^\circ) = 0 \] Vậy giá trị cosin của góc tạo bởi đường thẳng \( SA \) và mặt phẳng \( (AMN) \) là \( 0 \).