Câu $\rm 2.$

Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. Khẳng định a): Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q, khi đó \(NQ = a\). - Đầu tiên, ta cần xác định vị trí của các điểm M, N, P. Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn SA, SB, SC, nên tọa độ của chúng có thể được xác định dựa trên tọa độ của các điểm S, A, B, C. - Giả sử S có tọa độ \((0, 0, h)\) và A, B, C, D lần lượt có tọa độ \((-a, -a, 0)\), \((a, -a, 0)\), \((a, a, 0)\), \((-a, a, 0)\). - Khi đó, tọa độ của M, N, P lần lượt là \((-a/2, -a/2, h/2)\), \((a/2, -a/2, h/2)\), \((a/2, a/2, h/2)\). - Để tìm điểm Q, ta cần viết phương trình mặt phẳng (MNP) và đường thẳng SD. Sau đó, tìm giao điểm của chúng. - Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể sử dụng tính chất hình học. Do M, N, P là trung điểm, nên mặt phẳng (MNP) là mặt phẳng trung bình của hình chóp S.ABCD. - Đường thẳng SD có phương trình đi qua S và D, và Q là trung điểm của SD. - Do đó, \(NQ = a\) là đúng vì N là trung điểm của SB và Q là trung điểm của SD, nên khoảng cách từ N đến Q là một nửa độ dài của cạnh hình vuông đáy, tức là \(a\). Khẳng định b): \((MNO) \parallel (SCD)\). - Mặt phẳng (MNO) là mặt phẳng trung bình của hình chóp S.ABCD, do đó nó song song với mặt phẳng đáy (ABCD). - Mặt phẳng (SCD) chứa đường chéo của đáy và đỉnh S, không song song với mặt phẳng đáy. - Do đó, \((MNO) \parallel (SCD)\) là sai. Khẳng định c): \((MNP) \parallel (ABCD)\). - Như đã phân tích ở trên, mặt phẳng (MNP) là mặt phẳng trung bình của hình chóp S.ABCD, nên nó song song với mặt phẳng đáy (ABCD). - Do đó, khẳng định này là đúng. Khẳng định d): Diện tích của tứ giác MNPQ bằng \(a^2\). - Tứ giác MNPQ nằm trong mặt phẳng trung bình của hình chóp, và các điểm M, N, P, Q là trung điểm của các cạnh tương ứng. - Diện tích của tứ giác MNPQ là một nửa diện tích của hình vuông ABCD, vì nó là hình chiếu của hình vuông ABCD lên mặt phẳng trung bình. - Diện tích của hình vuông ABCD là \((2a)^2 = 4a^2\), do đó diện tích của tứ giác MNPQ là \(\frac{1}{2} \times 4a^2 = 2a^2\). - Khẳng định này là sai vì diện tích không phải là \(a^2\). Tóm lại: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.