Xét tính đơn điệu và lập bảng biến thiên của hàm số a) $y=\frac{x^2-3x+4}{x-3}$ b) $y=\frac{-x^2+2x-1}{x+2}$

Phần a) \( y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 3} \) Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 4}{x - 3} \) có mẫu số \( x - 3 \neq 0 \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{3\} \] Bước 2: Tính đạo hàm Ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x^2 - 3x + 4)'(x - 3) - (x^2 - 3x + 4)(x - 3)'}{(x - 3)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^2 - 3x + 4)' = 2x - 3 \] \[ (x - 3)' = 1 \] Thay vào công thức đạo hàm: \[ y' = \frac{(2x - 3)(x - 3) - (x^2 - 3x + 4)}{(x - 3)^2} \] Phát triển tử số: \[ (2x - 3)(x - 3) = 2x^2 - 6x - 3x + 9 = 2x^2 - 9x + 9 \] \[ (2x^2 - 9x + 9) - (x^2 - 3x + 4) = 2x^2 - 9x + 9 - x^2 + 3x - 4 = x^2 - 6x + 5 \] Do đó: \[ y' = \frac{x^2 - 6x + 5}{(x - 3)^2} \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm Xét dấu của \( y' \): \[ y' = \frac{x^2 - 6x + 5}{(x - 3)^2} \] Giải phương trình \( x^2 - 6x + 5 = 0 \): \[ x^2 - 6x + 5 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 5) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 5 \] Do đó, ta có các khoảng cần xét: \[ (-\infty, 1), (1, 3), (3, 5), (5, \infty) \] Xét dấu của \( y' \) trong các khoảng này: - Trên khoảng \( (-\infty, 1) \): \( y' > 0 \) - Trên khoảng \( (1, 3) \): \( y' < 0 \) - Trên khoảng \( (3, 5) \): \( y' < 0 \) - Trên khoảng \( (5, \infty) \): \( y' > 0 \) Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu - Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (5, \infty) \). - Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (1, 3) \) và \( (3, 5) \). Bước 5: Lập bảng biến thiên | \( x \) | \( -\infty \) | 1 | 3 | 5 | \( \infty \) | |--------------|----------------|-----------|-----------|-----------|---------------| | \( y' \) | \( + \) | 0 | \( - \) | 0 | \( + \) | | \( y \) | \( \nearrow \) | Cực đại | \( \searrow \) | Cực tiểu | \( \nearrow \) | Đáp án cuối cùng - Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, 1) \) và \( (5, \infty) \). - Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (1, 3) \) và \( (3, 5) \). Phần b) \( y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} \) Bước 1: Tìm tập xác định Hàm số \( y = \frac{-x^2 + 2x - 1}{x + 2} \) có mẫu số \( x + 2 \neq 0 \). Do đó, tập xác định của hàm số là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \] Bước 2: Tính đạo hàm Ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(-x^2 + 2x - 1)'(x + 2) - (-x^2 + 2x - 1)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (-x^2 + 2x - 1)' = -2x + 2 \] \[ (x + 2)' = 1 \] Thay vào công thức đạo hàm: \[ y' = \frac{(-2x + 2)(x + 2) - (-x^2 + 2x - 1)}{(x + 2)^2} \] Phát triển tử số: \[ (-2x + 2)(x + 2) = -2x^2 - 4x + 2x + 4 = -2x^2 - 2x + 4 \] \[ (-2x^2 - 2x + 4) - (-x^2 + 2x - 1) = -2x^2 - 2x + 4 + x^2 - 2x + 1 = -x^2 - 4x + 5 \] Do đó: \[ y' = \frac{-x^2 - 4x + 5}{(x + 2)^2} \] Bước 3: Xác định dấu của đạo hàm Xét dấu của \( y' \): \[ y' = \frac{-x^2 - 4x + 5}{(x + 2)^2} \] Giải phương trình \( -x^2 - 4x + 5 = 0 \): \[ -x^2 - 4x + 5 = 0 \] \[ x^2 + 4x - 5 = 0 \] \[ (x + 5)(x - 1) = 0 \] \[ x = -5 \text{ hoặc } x = 1 \] Do đó, ta có các khoảng cần xét: \[ (-\infty, -5), (-5, -2), (-2, 1), (1, \infty) \] Xét dấu của \( y' \) trong các khoảng này: - Trên khoảng \( (-\infty, -5) \): \( y' > 0 \) - Trên khoảng \( (-5, -2) \): \( y' < 0 \) - Trên khoảng \( (-2, 1) \): \( y' < 0 \) - Trên khoảng \( (1, \infty) \): \( y' > 0 \) Bước 4: Kết luận về tính đơn điệu - Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -5) \) và \( (1, \infty) \). - Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-5, -2) \) và \( (-2, 1) \). Bước 5: Lập bảng biến thiên | \( x \) | \( -\infty \) | -5 | -2 | 1 | \( \infty \) | |--------------|----------------|-----------|-----------|-----------|---------------| | \( y' \) | \( + \) | 0 | \( - \) | 0 | \( + \) | | \( y \) | \( \nearrow \) | Cực đại | \( \searrow \) | Cực tiểu | \( \nearrow \) | Đáp án cuối cùng - Hàm số đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -5) \) và \( (1, \infty) \). - Hàm số nghịch biến trên các khoảng \( (-5, -2) \) và \( (-2, 1) \).