Bài 5 – Hình thang cân Cho hình thang cân ABCD có đáy AB = 8, CD = 14 và chiều cao h = 6. Vẽ hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính diện tích tam giác AOB và góc giữa hai đường chéo.

Question

Accepted Answer

Bài 5:
Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính diện tích tam giác AOB

Hình thang cân ABCD có đáy AB = 8, CD = 14 và chiều cao h = 6. Diện tích của hình thang ABCD được tính bằng công thức:

$$
S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h = \frac{1}{2} \times (8 + 14) \times 6 = \frac{1}{2} \times 22 \times 6 = 66
$$

Do hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, nên O là trọng tâm của hình thang. Diện tích tam giác AOB bằng một phần tư diện tích hình thang ABCD, vì hai đường chéo chia hình thang thành bốn tam giác có diện tích bằng nhau.

$$
S_{AOB} = \frac{1}{4} \times S_{ABCD} = \frac{1}{4} \times 66 = 16.5
$$

Bước 2: Tính góc giữa hai đường chéo AC và BD

Để tính góc giữa hai đường chéo, ta cần sử dụng định lý cosin trong tam giác AOB. Tuy nhiên, trước tiên ta cần xác định tọa độ của các điểm A, B, C, D để dễ dàng tính toán.

Giả sử điểm A có tọa độ (0, 0), điểm B có tọa độ (8, 0). Do hình thang cân, hai cạnh bên AD và BC bằng nhau và có chiều cao h = 6. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Khi đó, M có tọa độ (4, 0) và N có tọa độ (11, 6).

Vì hình thang cân, ta có:

- Điểm D có tọa độ (3, 6)
- Điểm C có tọa độ (14, 6)

Tính các vector:

- $\overrightarrow{AC} = (14 - 0, 6 - 0) = (14, 6)$
- $\overrightarrow{BD} = (3 - 8, 6 - 0) = (-5, 6)$

Sử dụng công thức cosin cho góc giữa hai vector:

$$
\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{BD}|}
$$

Tính tích vô hướng:

$$
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 14 \times (-5) + 6 \times 6 = -70 + 36 = -34
$$

Tính độ dài các vector:

$$
|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{14^2 + 6^2} = \sqrt{196 + 36} = \sqrt{232}
$$

$$
|\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}
$$

Do đó:

$$
\cos \theta = \frac{-34}{\sqrt{232} \times \sqrt{61}}
$$

Từ đó, ta có thể tính được góc $\theta$ bằng cách sử dụng máy tính để tìm giá trị của $\theta$.

Kết luận

- Diện tích tam giác AOB là 16.5.
- Góc giữa hai đường chéo AC và BD có thể được tính bằng cách sử dụng công thức cosin như trên.