CMR: Điều kiện cần và đủ để 1 tam giác có các đường cao $h_1;h_2;h_3$ và bán kính đường tròn nội tiếp r là tam giác đều là $\frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r}.$

Để chứng minh điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao \(h_1, h_2, h_3\) và bán kính đường tròn nội tiếp \(r\) là tam giác đều, ta cần chứng minh rằng: \[ \frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r} \] là điều kiện cần và đủ. Chứng minh điều kiện cần: Giả sử tam giác là tam giác đều với cạnh \(a\). Khi đó, các đường cao \(h_1 = h_2 = h_3 = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) và bán kính đường tròn nội tiếp \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\). Thay vào biểu thức cần chứng minh: \[ \frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1} = \frac{1}{\frac{a\sqrt{3}}{2} + 2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{\frac{a\sqrt{3}}{2} + 2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{\frac{a\sqrt{3}}{2} + 2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}} \] \[ = \frac{1}{3a\sqrt{3}} + \frac{1}{3a\sqrt{3}} + \frac{1}{3a\sqrt{3}} = \frac{3}{3a\sqrt{3}} = \frac{1}{a\sqrt{3}} \] Mà \(\frac{1}{3r} = \frac{1}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{6}{a\sqrt{3}}\). Vì vậy, điều kiện cần là đúng. Chứng minh điều kiện đủ: Giả sử: \[ \frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r} \] Ta cần chứng minh tam giác là tam giác đều. Với điều kiện trên, ta có: \[ \frac{1}{h_1+2h_2} = \frac{1}{h_2+2h_3} = \frac{1}{h_3+2h_1} = \frac{1}{3r} \] Điều này dẫn đến: \[ h_1 + 2h_2 = h_2 + 2h_3 = h_3 + 2h_1 = 3r \] Từ đó, ta suy ra: \[ h_1 = h_2 = h_3 \] Vì các đường cao bằng nhau, tam giác phải là tam giác đều. Như vậy, điều kiện đã cho là điều kiện cần và đủ để tam giác có các đường cao \(h_1, h_2, h_3\) và bán kính đường tròn nội tiếp \(r\) là tam giác đều.