CMR: Điều kiện cần và đủ để 1 tam giác có các đường cao $h_1;h_2;h_3$ và bán kính đường tròn nội tiếp r là tam giác đều là $\frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r}.$

thumb up 1
thumb down
Trả lời câu hỏi của Bùi Ngọc Diễm
  • Câu trả lời phải chính xác, đầy đủ dựa trên kiến thức xác thực:
    • ✔ Đối với câu hỏi trắc nghiệm: Đưa đáp án lựa chọn + giải thích lý do chọn đáp án.
    • ✔ Đối với câu hỏi tự luận: Đưa lời giải và đáp án cho câu hỏi.
    • ✔ Đối với câu hỏi trả lời ngắn: Đưa ra đáp án + giải thích lý do.
    • ✔ Chấp nhận sử dụng ảnh do thành viên viết tay, ảnh cần rõ nét, không bị mờ, vỡ ảnh.
  • Sử dụng ngôn ngữ rõ ràng, dễ hiểu.
  • Tránh đưa ra các ý kiến cá nhân mang tính chất chủ quan.
  • Nếu sử dụng thông tin từ nguồn khác, phải trích dẫn nguồn đầy đủ và chính xác.
  • Tuyệt đối không được sao chép các thông tin từ các trang khác, từ AI hoặc chatGPT.
CÂU TRẢ LỜI
avatar
Timi

12/09/2025

Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để chứng minh điều kiện cần và đủ để một tam giác có các đường cao \(h_1, h_2, h_3\) và bán kính đường tròn nội tiếp \(r\) là tam giác đều, ta cần chứng minh rằng: \[ \frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r} \] là điều kiện cần và đủ. Chứng minh điều kiện cần: Giả sử tam giác là tam giác đều với cạnh \(a\). Khi đó, các đường cao \(h_1 = h_2 = h_3 = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) và bán kính đường tròn nội tiếp \(r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\). Thay vào biểu thức cần chứng minh: \[ \frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1} = \frac{1}{\frac{a\sqrt{3}}{2} + 2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{\frac{a\sqrt{3}}{2} + 2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{\frac{a\sqrt{3}}{2} + 2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}} \] \[ = \frac{1}{3a\sqrt{3}} + \frac{1}{3a\sqrt{3}} + \frac{1}{3a\sqrt{3}} = \frac{3}{3a\sqrt{3}} = \frac{1}{a\sqrt{3}} \] Mà \(\frac{1}{3r} = \frac{1}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{6}{a\sqrt{3}}\). Vì vậy, điều kiện cần là đúng. Chứng minh điều kiện đủ: Giả sử: \[ \frac{1}{h_1+2h_2}+\frac{1}{h_2+2h_3}+\frac{1}{h_3+2h_1}=\frac{1}{3r} \] Ta cần chứng minh tam giác là tam giác đều. Với điều kiện trên, ta có: \[ \frac{1}{h_1+2h_2} = \frac{1}{h_2+2h_3} = \frac{1}{h_3+2h_1} = \frac{1}{3r} \] Điều này dẫn đến: \[ h_1 + 2h_2 = h_2 + 2h_3 = h_3 + 2h_1 = 3r \] Từ đó, ta suy ra: \[ h_1 = h_2 = h_3 \] Vì các đường cao bằng nhau, tam giác phải là tam giác đều. Như vậy, điều kiện đã cho là điều kiện cần và đủ để tam giác có các đường cao \(h_1, h_2, h_3\) và bán kính đường tròn nội tiếp \(r\) là tam giác đều.
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận
avatar
level icon
minhthu_

15/09/2025

message-box-blue.svg Trả lời tham khảo

Bùi Ngọc Diễm

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với $\frac{1}{\frac{S}{a}+\frac{2S}{b}}+\frac{1}{\frac{S}{b}+\frac{2S}{c}}+\frac{1}{\frac{S}{c}+\frac{2S}{a}}$$=\frac{1}{\frac{3S}{a+b+c}}$.

Áp dụng bất dẳng thức AM - GM, ta có:

$\frac{S}{a}+\frac{2S}{b}=S\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{9S}{a+2b}.$

Tương tự ta cũng có: $\frac{S}{b}+\frac{2S}{c}\ge\frac{9S}{b+2c};\frac{S}{c}+\frac{2S}{a}\ge\frac{9S}{c+2a}$

Do đó: $\frac{1}{\frac{S}{a}+\frac{2S}{b}}+\frac{1}{\frac{S}{b}+\frac{2S}{c}}+\frac{1}{\frac{S}{c}+\frac{2S}{a}}\le\frac{a+b+c}{3S}=VP$

Dấu "=" xảy ra kvck a = b = c hay tam giác ABC đều.

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận

Nếu bạn muốn hỏi bài tập

Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút

Ảnh ads

CÂU HỎI LIÊN QUAN

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
location.svg Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Đào Trường Giang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved