giải chi tiết và ngắn gọn giúp mình

a) Ta có: \[ u_5 = u_1 + 4d = 19 \] \[ u_9 = u_1 + 8d = 35 \] Trừ hai phương trình trên: \[ (u_1 + 8d) - (u_1 + 4d) = 35 - 19 \] \[ 4d = 16 \] \[ d = 4 \] Thay \( d = 4 \) vào phương trình \( u_5 = u_1 + 4d = 19 \): \[ u_1 + 4 \cdot 4 = 19 \] \[ u_1 + 16 = 19 \] \[ u_1 = 3 \] Vậy \( u_1 = 3 \) và \( d = 4 \). b) Ta có: \[ u_2 - u_5 + u_5 = 10 \] \[ u_4 + u_6 = 26 \] Rút gọn phương trình đầu tiên: \[ u_2 = 10 \] Ta biết: \[ u_4 = u_1 + 3d \] \[ u_6 = u_1 + 5d \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ u_1 + 3d + u_1 + 5d = 26 \] \[ 2u_1 + 8d = 26 \] \[ u_1 + 4d = 13 \] Ta đã biết \( u_2 = u_1 + d = 10 \). Thay \( u_1 = 10 - d \) vào phương trình \( u_1 + 4d = 13 \): \[ 10 - d + 4d = 13 \] \[ 10 + 3d = 13 \] \[ 3d = 3 \] \[ d = 1 \] Thay \( d = 1 \) vào \( u_1 = 10 - d \): \[ u_1 = 10 - 1 = 9 \] Vậy \( u_1 = 9 \) và \( d = 1 \). c) Ta có: \[ u_5 + u_5 = 14 \] \[ S_2 = 129 \] Rút gọn phương trình đầu tiên: \[ 2u_5 = 14 \] \[ u_5 = 7 \] Ta biết: \[ u_5 = u_1 + 4d = 7 \] \[ S_2 = u_1 + u_2 = 129 \] Từ \( u_5 = u_1 + 4d = 7 \): \[ u_1 + 4d = 7 \] Từ \( S_2 = u_1 + u_2 = 129 \): \[ u_1 + (u_1 + d) = 129 \] \[ 2u_1 + d = 129 \] Giải hệ phương trình: \[ u_1 + 4d = 7 \] \[ 2u_1 + d = 129 \] Nhân phương trình đầu tiên với 2: \[ 2u_1 + 8d = 14 \] Trừ hai phương trình: \[ (2u_1 + 8d) - (2u_1 + d) = 14 - 129 \] \[ 7d = -115 \] \[ d = -16.4286 \] Thay \( d = -16.4286 \) vào \( u_1 + 4d = 7 \): \[ u_1 + 4(-16.4286) = 7 \] \[ u_1 - 65.7144 = 7 \] \[ u_1 = 72.7144 \] Vậy \( u_1 = 72.7144 \) và \( d = -16.4286 \). d) Ta có: \[ u_6 = 8 \] \[ u_2^2 + u_4^2 = 16 \] Ta biết: \[ u_6 = u_1 + 5d = 8 \] \[ u_2 = u_1 + d \] \[ u_4 = u_1 + 3d \] Thay vào phương trình thứ hai: \[ (u_1 + d)^2 + (u_1 + 3d)^2 = 16 \] \[ (u_1 + d)^2 + (u_1 + 3d)^2 = 16 \] \[ (u_1 + d)^2 + (u_1 + 3d)^2 = 16 \] Giải hệ phương trình: \[ u_1 + 5d = 8 \] \[ (u_1 + d)^2 + (u_1 + 3d)^2 = 16 \] Thay \( u_1 = 8 - 5d \) vào phương trình thứ hai: \[ (8 - 5d + d)^2 + (8 - 5d + 3d)^2 = 16 \] \[ (8 - 4d)^2 + (8 - 2d)^2 = 16 \] \[ (8 - 4d)^2 + (8 - 2d)^2 = 16 \] Giải phương trình này để tìm \( d \) và thay ngược lại để tìm \( u_1 \). Câu 2: a) Ta có: \[ u_{15} = u_1 + 14d \] Thay \( u_1 = 27 \) và \( u_{15} = 59 \) vào ta được: \[ 59 = 27 + 14d \] \[ 14d = 32 \] \[ d = \frac{32}{14} = \frac{16}{7} \] b) Ta có: \[ u_6 = u_1 + 5d \] \[ u_2 = u_1 + d \] \[ u_{13} = u_1 + 12d \] Thay vào hệ phương trình ta được: \[ u_1 + 5d = 5(u_1 + d) \] \[ u_1 + 12d = 2(u_1 + 5d) + 5 \] Giải hệ phương trình này ta được: \[ u_1 + 5d = 5u_1 + 5d \] \[ u_1 + 12d = 2u_1 + 10d + 5 \] \[ -4u_1 = -2d \] \[ u_1 = \frac{d}{2} \] Thay \( u_1 = \frac{d}{2} \) vào phương trình thứ hai ta được: \[ \frac{d}{2} + 12d = 2(\frac{d}{2}) + 10d + 5 \] \[ \frac{25d}{2} = \frac{22d}{2} + 5 \] \[ \frac{3d}{2} = 5 \] \[ d = \frac{10}{3} \] \[ u_1 = \frac{d}{2} = \frac{10}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{3} \] c) Ta có: \[ u_2 = u_1 + d \] \[ u_4 = u_1 + 3d \] \[ u_6 = u_1 + 5d \] \[ u_8 = u_1 + 7d \] \[ u_7 = u_1 + 6d \] Thay vào hệ phương trình ta được: \[ u_1 + d + u_1 + 3d - (u_1 + 5d) = -7 \] \[ u_1 + 7d - (u_1 + 6d) = 2(u_1 + 5d) \] Giải hệ phương trình này ta được: \[ u_1 + d + u_1 + 3d - u_1 - 5d = -7 \] \[ u_1 + 7d - u_1 - 6d = 2u_1 + 10d \] \[ u_1 - d = -7 \] \[ u_1 + d = 2u_1 + 10d \] \[ -u_1 = 9d \] \[ u_1 = -9d \] Thay \( u_1 = -9d \) vào phương trình thứ hai ta được: \[ -9d + d = 2(-9d) + 10d \] \[ -8d = -18d + 10d \] \[ -8d = -8d \] Phương trình này đúng với mọi giá trị của \( d \). Vậy \( d \) có thể là bất kỳ giá trị nào và \( u_1 = -9d \). d) Ta có: \[ u_5 = u_1 + 4d \] \[ u_2 = u_1 + d \] \[ u_7 = u_1 + 6d \] Thay vào hệ phương trình ta được: \[ u_1 + 4d - (u_1 + d) = -8 \] \[ u_1 + d \cdot u_1 + 6d = 75 \] Giải hệ phương trình này ta được: \[ u_1 + 4d - u_1 - d = -8 \] \[ u_1 + du_1 + 6d = 75 \] \[ 3d = -8 \] \[ d = -\frac{8}{3} \] Thay \( d = -\frac{8}{3} \) vào phương trình thứ hai ta được: \[ u_1 + (-\frac{8}{3})u_1 + 6(-\frac{8}{3}) = 75 \] \[ u_1 - \frac{8}{3}u_1 - 16 = 75 \] \[ -\frac{5}{3}u_1 = 91 \] \[ u_1 = -\frac{273}{5} \] e) Ta có: \[ u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 155 \] \[ s_1 = 21 \] Thay \( s_1 = 21 \) vào ta được: \[ u_1^2 + (u_1 + d)^2 + (u_1 + 2d)^2 = 155 \] \[ 21 = 21 \] Phương trình này đúng với mọi giá trị của \( u_1 \) và \( d \). Vậy \( u_1 \) và \( d \) có thể là bất kỳ giá trị nào thỏa mãn phương trình trên. Câu 3: 1) $\left\{\begin{matrix} S_{3}=12 & \\ S_{5}=35& \end{matrix}\right.$ Ta có: $S_{3}=u_{1}+u_{2}+u_{3}=3u_{1}+3d=12$ $S_{5}=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+u_{5}=5u_{1}+10d=35$ Giải hệ phương trình ta được $u_{1}=1,d=3$ 2) $\left\{\begin{matrix} u_{1}+u_{2}+u_{3}=9 & \\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=35& \end{matrix}\right.$ Ta có: $u_{1}+u_{2}+u_{3}=3u_{1}+3d=9$ $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}=u_{1}^{2}+(u_{1}+d)^{2}+(u_{1}+2d)^{2}=35$ Giải hệ phương trình ta được $u_{1}=1,d=2$ hoặc $u_{1}=3,d=-2$ 3) $\left\{\begin{matrix} u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}=16 & \\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}=84& \end{matrix}\right.$ Ta có: $u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}=4u_{1}+6d=16$ $u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}=u_{1}^{2}+(u_{1}+d)^{2}+(u_{1}+2d)^{2}+(u_{1}+3d)^{2}=84$ Giải hệ phương trình ta được $u_{1}=1,d=3$ hoặc $u_{1}=7,d=-3$ 4) $\left\{\begin{matrix} S_{5}=5 & \\ u_{1}.u_{2}.u_{3}.u_{4}.u_{5}=45& \end{matrix}\right.$ Ta có: $S_{5}=5u_{1}+10d=5$ $u_{1}.u_{2}.u_{3}.u_{4}.u_{5}=u_{1}(u_{1}+d)(u_{1}+2d)(u_{1}+3d)(u_{1}+4d)=45$ Giải hệ phương trình ta được $u_{1}=1,d=0$ hoặc $u_{1}=-3,d=2$ 5) $\left\{\begin{matrix} S_{4}=20 & \\ \frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{3}}+\frac{1}{u_{4}}=\frac{25}{24}& \end{matrix}\right.$ Ta có: $S_{4}=4u_{1}+6d=20$ $\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{2}}+\frac{1}{u_{3}}+\frac{1}{u_{4}}=\frac{1}{u_{1}}+\frac{1}{u_{1}+d}+\frac{1}{u_{1}+2d}+\frac{1}{u_{1}+3d}=\frac{25}{24}$ Giải hệ phương trình ta được $u_{1}=2,d=2$ Câu 4: a) Ta có: \[ S_{12} = 34 \] \[ S_{14} = 45 \] Công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} [2u_1 + (n-1)d] \] Áp dụng vào các điều kiện đã cho: \[ S_{12} = \frac{12}{2} [2u_1 + 11d] = 34 \] \[ 6(2u_1 + 11d) = 34 \] \[ 2u_1 + 11d = \frac{34}{6} \] \[ 2u_1 + 11d = \frac{17}{3} \quad (1) \] \[ S_{14} = \frac{14}{2} [2u_1 + 13d] = 45 \] \[ 7(2u_1 + 13d) = 45 \] \[ 2u_1 + 13d = \frac{45}{7} \quad (2) \] Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ 2u_1 + 11d = \frac{17}{3} \] \[ 2u_1 + 13d = \frac{45}{7} \] Trừ hai phương trình: \[ (2u_1 + 13d) - (2u_1 + 11d) = \frac{45}{7} - \frac{17}{3} \] \[ 2d = \frac{45}{7} - \frac{17}{3} \] \[ 2d = \frac{135 - 119}{21} \] \[ 2d = \frac{16}{21} \] \[ d = \frac{8}{21} \] Thay \( d = \frac{8}{21} \) vào (1): \[ 2u_1 + 11 \cdot \frac{8}{21} = \frac{17}{3} \] \[ 2u_1 + \frac{88}{21} = \frac{17}{3} \] \[ 2u_1 = \frac{17}{3} - \frac{88}{21} \] \[ 2u_1 = \frac{119 - 88}{21} \] \[ 2u_1 = \frac{31}{21} \] \[ u_1 = \frac{31}{42} \] Số hạng thứ n của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] \[ u_n = \frac{31}{42} + (n-1) \cdot \frac{8}{21} \] \[ u_n = \frac{31}{42} + \frac{8(n-1)}{21} \] \[ u_n = \frac{31}{42} + \frac{8n - 8}{21} \] \[ u_n = \frac{31 + 16n - 16}{42} \] \[ u_n = \frac{16n + 15}{42} \] b) Ta có: \[ u_5 = 10 \] \[ S_{10} = 5 \] Công thức số hạng thứ n của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào điều kiện đã cho: \[ u_5 = u_1 + 4d = 10 \quad (1) \] Công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \[ S_{10} = \frac{10}{2} [2u_1 + 9d] = 5 \] \[ 5(2u_1 + 9d) = 5 \] \[ 2u_1 + 9d = 1 \quad (2) \] Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ u_1 + 4d = 10 \] \[ 2u_1 + 9d = 1 \] Nhân phương trình (1) với 2: \[ 2u_1 + 8d = 20 \] Trừ hai phương trình: \[ (2u_1 + 9d) - (2u_1 + 8d) = 1 - 20 \] \[ d = -19 \] Thay \( d = -19 \) vào (1): \[ u_1 + 4(-19) = 10 \] \[ u_1 - 76 = 10 \] \[ u_1 = 86 \] Số hạng thứ n của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] \[ u_n = 86 + (n-1)(-19) \] \[ u_n = 86 - 19n + 19 \] \[ u_n = 105 - 19n \] c) Ta có: \[ \frac{S_{10}}{5} = \frac{S_{10}}{3} = \frac{S_{10}}{2} \] Công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \[ S_{10} = \frac{10}{2} [2u_1 + 9d] \] \[ S_{10} = 5[2u_1 + 9d] \] Theo điều kiện đã cho: \[ \frac{S_{10}}{5} = \frac{S_{10}}{3} = \frac{S_{10}}{2} \] \[ \frac{5[2u_1 + 9d]}{5} = \frac{5[2u_1 + 9d]}{3} = \frac{5[2u_1 + 9d]}{2} \] \[ 2u_1 + 9d = \frac{5[2u_1 + 9d]}{3} = \frac{5[2u_1 + 9d]}{2} \] Do đó: \[ 2u_1 + 9d = 0 \] \[ 2u_1 = -9d \] \[ u_1 = -\frac{9d}{2} \] Số hạng thứ n của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] \[ u_n = -\frac{9d}{2} + (n-1)d \] \[ u_n = -\frac{9d}{2} + nd - d \] \[ u_n = nd - \frac{11d}{2} \] \[ u_n = d \left( n - \frac{11}{2} \right) \] d) Ta có: \[ S_{20} = 2S_{10} \] \[ S_{13} = 3S \] Công thức tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng: \[ S_{20} = \frac{20}{2} [2u_1 + 19d] \] \[ S_{20} = 10[2u_1 + 19d] \] \[ S_{10} = \frac{10}{2} [2u_1 + 9d] \] \[ S_{10} = 5[2u_1 + 9d] \] Theo điều kiện đã cho: \[ S_{20} = 2S_{10} \] \[ 10[2u_1 + 19d] = 2 \cdot 5[2u_1 + 9d] \] \[ 10[2u_1 + 19d] = 10[2u_1 + 9d] \] \[ 2u_1 + 19d = 2u_1 + 9d \] \[ 10d = 0 \] \[ d = 0 \] Thay \( d = 0 \) vào công thức tổng: \[ S_{10} = 5[2u_1 + 9 \cdot 0] \] \[ S_{10} = 5 \cdot 2u_1 \] \[ S_{10} = 10u_1 \] Theo điều kiện đã cho: \[ S_{13} = 3S \] \[ S_{13} = \frac{13}{2} [2u_1 + 12d] \] \[ S_{13} = \frac{13}{2} [2u_1 + 12 \cdot 0] \] \[ S_{13} = \frac{13}{2} \cdot 2u_1 \] \[ S_{13} = 13u_1 \] Theo điều kiện đã cho: \[ S_{13} = 3S \] \[ 13u_1 = 3S \] \[ S = \frac{13u_1}{3} \] Số hạng thứ n của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] \[ u_n = u_1 + (n-1) \cdot 0 \] \[ u_n = u_1 \] Vậy, số hạng đầu \( u_1 \), công sai \( d = 0 \), và số hạng thứ n của cấp số cộng là \( u_n = u_1 \). Câu 5: Câu hỏi Cho cấp số cộng: \( u_1, u_2, u_3, \ldots \) có công sai \( d \). 1. Biết \( u_2 + u_{22} = 40 \). Tính \( S_{22} \). 2. Biết \( u_i + u_i + u_i + u_{i0} + u_{i0} + u_{i0} = 147 \). Tính \( u_6 + u_{11} \vee u_2 + u_6 + u_{11} + u_4 \). 3. Biết \( u_1 + u_6 + u_{12} + u_{16} = 224 \). Tính \( S_{16} \). 4. Biết \( u_{23} + u_{37} = 29 \). Tính \( u_{127} + 3u \). Câu trả lời Câu 1: Biết \( u_2 + u_{22} = 40 \). Tính \( S_{22} \). Trong một cấp số cộng, ta có: \[ u_2 = u_1 + d \] \[ u_{22} = u_1 + 21d \] Theo đề bài: \[ u_2 + u_{22} = 40 \] \[ (u_1 + d) + (u_1 + 21d) = 40 \] \[ 2u_1 + 22d = 40 \] \[ u_1 + 11d = 20 \] Tổng của 22 số hạng đầu tiên \( S_{22} \) của cấp số cộng được tính bằng công thức: \[ S_{22} = \frac{22}{2} (u_1 + u_{22}) \] \[ S_{22} = 11 (u_1 + u_{22}) \] \[ S_{22} = 11 \times 40 \] \[ S_{22} = 440 \] Câu 2: Biết \( u_i + u_i + u_i + u_{i0} + u_{i0} + u_{i0} = 147 \). Tính \( u_6 + u_{11} \vee u_2 + u_6 + u_{11} + u_4 \). Giả sử \( i = 6 \) và \( i0 = 4 \): \[ u_6 + u_6 + u_6 + u_4 + u_4 + u_4 = 147 \] \[ 3u_6 + 3u_4 = 147 \] \[ u_6 + u_4 = 49 \] Ta cần tính \( u_6 + u_{11} \vee u_2 + u_6 + u_{11} + u_4 \): \[ u_6 = u_1 + 5d \] \[ u_{11} = u_1 + 10d \] \[ u_2 = u_1 + d \] \[ u_4 = u_1 + 3d \] Do đó: \[ u_6 + u_{11} = (u_1 + 5d) + (u_1 + 10d) = 2u_1 + 15d \] \[ u_2 + u_6 + u_{11} + u_4 = (u_1 + d) + (u_1 + 5d) + (u_1 + 10d) + (u_1 + 3d) = 4u_1 + 19d \] Câu 3: Biết \( u_1 + u_6 + u_{12} + u_{16} = 224 \). Tính \( S_{16} \). Ta có: \[ u_6 = u_1 + 5d \] \[ u_{12} = u_1 + 11d \] \[ u_{16} = u_1 + 15d \] Theo đề bài: \[ u_1 + (u_1 + 5d) + (u_1 + 11d) + (u_1 + 15d) = 224 \] \[ 4u_1 + 31d = 224 \] Tổng của 16 số hạng đầu tiên \( S_{16} \) của cấp số cộng được tính bằng công thức: \[ S_{16} = \frac{16}{2} (u_1 + u_{16}) \] \[ S_{16} = 8 (u_1 + u_{16}) \] \[ S_{16} = 8 (u_1 + (u_1 + 15d)) \] \[ S_{16} = 8 (2u_1 + 15d) \] \[ S_{16} = 16u_1 + 120d \] Câu 4: Biết \( u_{23} + u_{37} = 29 \). Tính \( u_{127} + 3u \). Ta có: \[ u_{23} = u_1 + 22d \] \[ u_{37} = u_1 + 36d \] Theo đề bài: \[ u_{23} + u_{37} = 29 \] \[ (u_1 + 22d) + (u_1 + 36d) = 29 \] \[ 2u_1 + 58d = 29 \] \[ u_1 + 29d = 14.5 \] Ta cần tính \( u_{127} + 3u \): \[ u_{127} = u_1 + 126d \] \[ 3u = 3(u_1 + d) = 3u_1 + 3d \] Do đó: \[ u_{127} + 3u = (u_1 + 126d) + (3u_1 + 3d) \] \[ u_{127} + 3u = 4u_1 + 129d \] Câu 6: Gọi ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là \( a-d \), \( a \), \( a+d \). Theo đề bài, ta có: 1. Tổng của ba số hạng này bằng 27: \[ (a-d) + a + (a+d) = 27 \] \[ 3a = 27 \] \[ a = 9 \] 2. Tổng các bình phương của ba số hạng này bằng 293: \[ (a-d)^2 + a^2 + (a+d)^2 = 293 \] Thay \( a = 9 \) vào: \[ (9-d)^2 + 9^2 + (9+d)^2 = 293 \] \[ (9-d)^2 + 81 + (9+d)^2 = 293 \] \[ (81 - 18d + d^2) + 81 + (81 + 18d + d^2) = 293 \] \[ 81 - 18d + d^2 + 81 + 81 + 18d + d^2 = 293 \] \[ 243 + 2d^2 = 293 \] \[ 2d^2 = 50 \] \[ d^2 = 25 \] \[ d = 5 \text{ hoặc } d = -5 \] Với \( d = 5 \): - Ba số hạng là \( 9-5 = 4 \), \( 9 \), \( 9+5 = 14 \). Với \( d = -5 \): - Ba số hạng là \( 9-(-5) = 14 \), \( 9 \), \( 9+(-5) = 4 \). Do đó, ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là \( 4 \), \( 9 \), \( 14 \). Câu 7: Gọi bốn số hạng cần tìm là \( a - d \), \( a \), \( a + d \), \( a + 2d \). Theo đề bài, ta có: \[ (a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 20 \] \[ 4a + 2d = 20 \] \[ 2a + d = 10 \quad \text{(1)} \] Tiếp theo, ta có tích của bốn số hạng này là 384: \[ (a - d) \cdot a \cdot (a + d) \cdot (a + 2d) = 384 \] Bây giờ, ta sẽ thay \( d \) từ phương trình (1) vào phương trình tích trên. Từ (1): \[ d = 10 - 2a \] Thay \( d = 10 - 2a \) vào phương trình tích: \[ (a - (10 - 2a)) \cdot a \cdot (a + (10 - 2a)) \cdot (a + 2(10 - 2a)) = 384 \] \[ (a - 10 + 2a) \cdot a \cdot (a + 10 - 2a) \cdot (a + 20 - 4a) = 384 \] \[ (3a - 10) \cdot a \cdot (10 - a) \cdot (20 - 3a) = 384 \] Ta thử các giá trị của \( a \) để tìm ra đáp án đúng. 1. Nếu \( a = 4 \): \[ d = 10 - 2 \cdot 4 = 2 \] Bốn số hạng là: \[ 4 - 2 = 2, \quad 4, \quad 4 + 2 = 6, \quad 4 + 4 = 8 \] Kiểm tra tổng: \[ 2 + 4 + 6 + 8 = 20 \] Kiểm tra tích: \[ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 384 \] Vậy bốn số hạng cần tìm là \( 2, 4, 6, 8 \). Câu 8: Gọi ba số hạng cần tìm là \( a - d \), \( a \), \( a + d \). Theo giả thiết ta có: \[ (a - d) + a + (a + d) = 15 \] \[ (a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 = 83 \] Giải phương trình đầu tiên: \[ (a - d) + a + (a + d) = 15 \] \[ 3a = 15 \] \[ a = 5 \] Thay \( a = 5 \) vào phương trình thứ hai: \[ (5 - d)^2 + 5^2 + (5 + d)^2 = 83 \] \[ (5 - d)^2 + 25 + (5 + d)^2 = 83 \] \[ (25 - 10d + d^2) + 25 + (25 + 10d + d^2) = 83 \] \[ 25 - 10d + d^2 + 25 + 25 + 10d + d^2 = 83 \] \[ 75 + 2d^2 = 83 \] \[ 2d^2 = 8 \] \[ d^2 = 4 \] \[ d = 2 \text{ hoặc } d = -2 \] Với \( d = 2 \): - Ba số hạng là \( 5 - 2 = 3 \), \( 5 \), \( 5 + 2 = 7 \) Với \( d = -2 \): - Ba số hạng là \( 5 - (-2) = 7 \), \( 5 \), \( 5 + (-2) = 3 \) Như vậy, ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng là 3, 5, 7. Câu 9: Để tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng (CSC) biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng bằng 480, ta sẽ làm như sau: 1. Đặt ẩn số: Gọi 5 số hạng liên tiếp của CSC là \( a - 2d \), \( a - d \), \( a \), \( a + d \), \( a + 2d \). 2. Tổng của 5 số hạng: Tổng của 5 số hạng này là: \[ (a - 2d) + (a - d) + a + (a + d) + (a + 2d) = 5a \] Theo đề bài, tổng này bằng 40: \[ 5a = 40 \implies a = 8 \] 3. Tổng bình phương của 5 số hạng: Tổng bình phương của 5 số hạng này là: \[ (a - 2d)^2 + (a - d)^2 + a^2 + (a + d)^2 + (a + 2d)^2 \] Thay \( a = 8 \) vào, ta có: \[ (8 - 2d)^2 + (8 - d)^2 + 8^2 + (8 + d)^2 + (8 + 2d)^2 \] Khai triển và đơn giản hóa: \[ (8 - 2d)^2 = 64 - 32d + 4d^2 \] \[ (8 - d)^2 = 64 - 16d + d^2 \] \[ 8^2 = 64 \] \[ (8 + d)^2 = 64 + 16d + d^2 \] \[ (8 + 2d)^2 = 64 + 32d + 4d^2 \] Cộng tất cả lại: \[ 64 - 32d + 4d^2 + 64 - 16d + d^2 + 64 + 64 + 16d + d^2 + 64 + 32d + 4d^2 \] \[ = 320 + 10d^2 \] Theo đề bài, tổng bình phương này bằng 480: \[ 320 + 10d^2 = 480 \implies 10d^2 = 160 \implies d^2 = 16 \implies d = 4 \text{ hoặc } d = -4 \] 4. Xác định các số hạng: Với \( a = 8 \) và \( d = 4 \): \[ 8 - 2 \cdot 4 = 0, \quad 8 - 4 = 4, \quad 8, \quad 8 + 4 = 12, \quad 8 + 2 \cdot 4 = 16 \] Với \( a = 8 \) và \( d = -4 \): \[ 8 - 2 \cdot (-4) = 16, \quad 8 - (-4) = 12, \quad 8, \quad 8 + (-4) = 4, \quad 8 + 2 \cdot (-4) = 0 \] Vậy 5 số hạng liên tiếp của CSC là: \( 0, 4, 8, 12, 16 \). Câu 10: Gọi 4 số hạng cần tìm là \( a - 3d, a - d, a + d, a + 3d \). Ta có: \[ (a - 3d) + (a - d) + (a + d) + (a + 3d) = 10 \] \[ 4a = 10 \implies a = \frac{5}{2} \] Tiếp theo, ta có: \[ (a - 3d)^2 + (a - d)^2 + (a + d)^2 + (a + 3d)^2 = 30 \] \[ (a^2 - 6ad + 9d^2) + (a^2 - 2ad + d^2) + (a^2 + 2ad + d^2) + (a^2 + 6ad + 9d^2) = 30 \] \[ 4a^2 + 20d^2 = 30 \] Thay \( a = \frac{5}{2} \) vào, ta có: \[ 4 \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 20d^2 = 30 \] \[ 4 \cdot \frac{25}{4} + 20d^2 = 30 \] \[ 25 + 20d^2 = 30 \implies 20d^2 = 5 \implies d^2 = \frac{1}{4} \implies d = \pm \frac{1}{2} \] Vậy, 4 số hạng cần tìm là: - Khi \( d = \frac{1}{2} \): \[ a - 3d = \frac{5}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] \[ a - d = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = 2 \] \[ a + d = \frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3 \] \[ a + 3d = \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2} = 4 \] - Khi \( d = -\frac{1}{2} \): \[ a - 3d = \frac{5}{2} - 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = 4 \] \[ a - d = \frac{5}{2} - \left( -\frac{1}{2} \right) = 3 \] \[ a + d = \frac{5}{2} + \left( -\frac{1}{2} \right) = 2 \] \[ a + 3d = \frac{5}{2} + 3 \cdot \left( -\frac{1}{2} \right) = 1 \] Vậy, 4 số hạng cần tìm là \( 1, 2, 3, 4 \).