Câu $\rm 3.$

Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a. Chứng minh: \(mp(SAB) \bot mp(SAC)\). 1. Xác định các mặt phẳng cần chứng minh vuông góc: - Mặt phẳng \((SAB)\) chứa các điểm \(S, A, B\). - Mặt phẳng \((SAC)\) chứa các điểm \(S, A, C\). 2. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: - Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAC)\) là đường thẳng \(SA\). 3. Chứng minh \(SA\) vuông góc với một đường thẳng chung của hai mặt phẳng: - Do \(SB \bot (ABC)\), nên \(SB \bot AB\) và \(SB \bot AC\). - Trong mặt phẳng \((SAB)\), \(SB \bot AB\). - Trong mặt phẳng \((SAC)\), \(SB \bot AC\). 4. Kết luận: - Vì \(SB\) vuông góc với cả hai đường thẳng \(AB\) và \(AC\) nằm trong hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAC)\), nên \(SB\) là đường thẳng vuông góc chung của hai mặt phẳng này. - Do đó, \(mp(SAB) \bot mp(SAC)\). b. Tính khoảng cách giữa \(AB\) và \(SC\). 1. Xác định vị trí của các đường thẳng: - Đường thẳng \(AB\) nằm trong mặt phẳng \((ABC)\). - Đường thẳng \(SC\) nằm trong mặt phẳng \((SAC)\). 2. Tìm điểm chung của hai mặt phẳng: - Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAC)\) là \(SA\). 3. Tính khoảng cách từ một điểm trên \(AB\) đến \(SC\): - Chọn điểm \(A\) trên \(AB\). - Khoảng cách từ \(A\) đến \(SC\) chính là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) vì \(SC\) nằm trong mặt phẳng này. 4. Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\): - Do \(SB \bot (ABC)\), nên \(SB\) là đường cao từ \(S\) đến mặt phẳng \((ABC)\). - Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) chính là độ dài đoạn thẳng \(SA\). 5. Tính độ dài \(SA\): - Trong tam giác vuông \(SAB\), ta có: \[ SA = \sqrt{SB^2 - AB^2} = \sqrt{(2a)^2 - a^2} = \sqrt{4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}. \] 6. Kết luận: - Khoảng cách giữa \(AB\) và \(SC\) là \(a\sqrt{3}\).