giải cho tớ

Câu 20: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích đồ thị của hàm số \( y = f^\prime(x) \) để suy ra các điểm cực trị của hàm số \( f(x) \). 1. Xác định các điểm mà \( f^\prime(x) = 0 \): - Dựa vào đồ thị, ta thấy \( f^\prime(x) \) cắt trục hoành tại hai điểm. Giả sử các điểm này là \( x_1 \) và \( x_2 \). 2. Xét dấu của \( f^\prime(x) \) để xác định cực trị của \( f(x) \): - Tại \( x_1 \), \( f^\prime(x) \) đổi dấu từ dương sang âm, do đó \( x_1 \) là điểm cực đại của \( f(x) \). - Tại \( x_2 \), \( f^\prime(x) \) đổi dấu từ âm sang dương, do đó \( x_2 \) là điểm cực tiểu của \( f(x) \). 3. Kết luận: - Hàm số \( f(x) \) có một cực đại tại \( x_1 \) và một cực tiểu tại \( x_2 \). Dựa vào phân tích trên, nhận xét đúng là: C. Đồ thị hàm số \( f(x) \) có đúng một cực đại. Câu 21: Để giải quyết các câu hỏi dựa trên bảng xét dấu đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \), ta cần phân tích từng khoảng mà đạo hàm \( f'(x) \) có dấu. Phân tích bảng xét dấu đạo hàm: - Trên khoảng \((-\infty, 0)\), \( f'(x) > 0 \): Hàm số đồng biến. - Tại \( x = 0 \), \( f'(x) = 0 \). - Trên khoảng \((0, 1)\), \( f'(x) < 0 \): Hàm số nghịch biến. - Tại \( x = 1 \), \( f'(x) = 0 \). - Trên khoảng \((1, 2)\), \( f'(x) < 0 \): Hàm số nghịch biến. - Tại \( x = 2 \), \( f'(x) = 0 \). - Trên khoảng \((2, +\infty)\), \( f'(x) > 0 \): Hàm số đồng biến. Trả lời từng câu hỏi: a) Hàm số đồng biến trên khoảng \((-∞, 1)\): - Sai. Hàm số đồng biến trên \((-∞, 0)\) và nghịch biến trên \((0, 1)\). b) Hàm số đồng biến trên khoảng \((1, +∞)\): - Sai. Hàm số nghịch biến trên \((1, 2)\) và đồng biến trên \((2, +∞)\). c) Hàm số đạt cực đại tại \( x = 2 \): - Đúng. Vì \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 2 \), hàm số đạt cực đại tại \( x = 2 \). d) Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu: - Đúng. Hàm số có cực tiểu tại \( x = 0 \) (vì \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm) và cực tiểu tại \( x = 1 \) (vì \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang âm), và cực đại tại \( x = 2 \). Vậy, các câu đúng là c) và d). Câu 22: Để giải quyết các phần của bài toán liên quan đến hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \), chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Phần a) Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \) Hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) là một đa thức, do đó tập xác định của nó là toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Phần b) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) Để kiểm tra tính đồng biến của hàm số, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm trên khoảng (0; 2). 1. Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x \] 2. Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên khoảng (0; 2): \[ y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) \] - Trên khoảng (0; 2), \( x \) nằm giữa 0 và 2, do đó \( x > 0 \) và \( x - 2 < 0 \). - Do đó, \( 3x(x - 2) < 0 \) trên khoảng (0; 2). Vì đạo hàm \( y' \) âm trên khoảng (0; 2), hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) nghịch biến trên khoảng này. Vậy khẳng định "Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)" là sai. Phần c) Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \( 2x + y - 4 = 0 \) 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số: - Đặt \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] - Thay \( x = 0 \) và \( x = 2 \) vào hàm số để tìm \( y \): \[ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \] \[ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] - Các điểm cực trị là \( A(0, 4) \) và \( B(2, 0) \). 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A(0, 4) \) và \( B(2, 0) \): - Hệ số góc \( m \) của đường thẳng: \[ m = \frac{0 - 4}{2 - 0} = -2 \] - Phương trình đường thẳng có dạng \( y = mx + c \): \[ y = -2x + c \] - Thay \( A(0, 4) \) vào phương trình để tìm \( c \): \[ 4 = -2(0) + c \implies c = 4 \] - Phương trình đường thẳng là: \[ y = -2x + 4 \implies 2x + y - 4 = 0 \] Vậy khẳng định "Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \( 2x + y - 4 = 0 \)" là đúng. Phần d) Diện tích của tam giác OAB bằng 4, với O là gốc tọa độ 1. Tính diện tích tam giác OAB: - Tọa độ các điểm \( O(0, 0) \), \( A(0, 4) \), và \( B(2, 0) \). - Công thức tính diện tích tam giác: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] - Thay tọa độ vào công thức: \[ S = \frac{1}{2} \left| 0(4 - 0) + 0(0 - 0) + 2(0 - 4) \right| = \frac{1}{2} \left| 0 + 0 - 8 \right| = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \] Vậy khẳng định "Diện tích của tam giác OAB bằng 4, với O là gốc tọa độ" là đúng. Kết luận - Phần a) Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \) (đúng). - Phần b) Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) (sai). - Phần c) Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \( 2x + y - 4 = 0 \) (đúng). - Phần d) Diện tích của tam giác OAB bằng 4, với O là gốc tọa độ (đúng). Câu 23: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng phần của các khẳng định đã cho. a) Tập xác định của hàm số Hàm số đã cho là \( y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \). Để tìm tập xác định, ta cần tìm các giá trị của \( x \) sao cho mẫu số khác 0. Mẫu số là \( x + 1 \), do đó điều kiện xác định là \( x + 1 \neq 0 \), tức là \( x \neq -1 \). Vậy tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \). Khẳng định a) "Tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \)" là sai. b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-2;0)\) Để kiểm tra tính đơn điệu của hàm số, ta cần tính đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x^2 + 2x + 2}{x + 1} \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ y' = \frac{(2x + 2)(x + 1) - (x^2 + 2x + 2)(1)}{(x + 1)^2} \] Tính toán tử số: \[ (2x + 2)(x + 1) = 2x^2 + 2x + 2x + 2 = 2x^2 + 4x + 2 \] \[ (x^2 + 2x + 2)(1) = x^2 + 2x + 2 \] Do đó: \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + 2 - (x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] Xét dấu của \( y' \) trên khoảng \((-2;0)\): - Trên khoảng \((-2;0)\), \( x(x + 2) < 0 \) vì \( x \in (-2, 0) \) và \( x + 2 > 0 \). - Mẫu số \((x + 1)^2 > 0\) với mọi \( x \neq -1 \). Do đó, \( y' < 0 \) trên khoảng \((-2;0)\), hàm số nghịch biến trên khoảng này. Khẳng định b) là đúng. c) Tọa độ điểm \( A(-2;-2),~B(0;2) \) Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0 \] Tử số bằng 0 khi \( x = 0 \) hoặc \( x = -2 \). - Với \( x = 0 \), \( y = \frac{0^2 + 2 \cdot 0 + 2}{0 + 1} = 2 \). Vậy điểm \( B(0, 2) \). - Với \( x = -2 \), \( y = \frac{(-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 2}{-2 + 1} = -2 \). Vậy điểm \( A(-2, -2) \). Khẳng định c) là đúng. d) Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là \( AB = 2\sqrt{3} \) Tính khoảng cách giữa hai điểm \( A(-2, -2) \) và \( B(0, 2) \): \[ AB = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \] Khẳng định d) là sai vì khoảng cách là \( 2\sqrt{5} \), không phải \( 2\sqrt{3} \). Tóm lại, các khẳng định đúng là b) và c). Câu 24: a) Ta có: \[v(t) = x'(t) = 3t^2 - 12t + 9.\] Do đó khẳng định này sai. b) Ta có: \[a(t) = v'(t) = 6t - 12.\] Do đó khẳng định này đúng. c) Xét dấu của đạo hàm \(v'(t)\): \[v'(t) = 6t - 12.\] \[v'(t) > 0 \Leftrightarrow 6t - 12 > 0 \Leftrightarrow t > 2.\] Do đó khẳng định này sai. d) Xét dấu của đạo hàm \(v'(t)\): \[v'(t) < 0 \Leftrightarrow 6t - 12 < 0 \Leftrightarrow t < 2.\] Do đó khẳng định này sai. Đáp án: b) Câu 25: Để tìm giá trị cực tiểu và cực đại của hàm số \( y = f(x) = -\frac{x^2}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x - 2 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): \[ f'(x) = -\frac{2x}{3} + x + 2 \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -\frac{2x}{3} + x + 2 = 0 \] \[ -\frac{2x}{3} + \frac{3x}{3} + 2 = 0 \] \[ \frac{x}{3} + 2 = 0 \] \[ x = -6 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \) hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai \( f''(x) \). Tìm đạo hàm bậc hai: \[ f''(x) = -\frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} \] Do \( f''(x) > 0 \) nên tại \( x = -6 \), hàm số có điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu \( x = -6 \): \[ f(-6) = -\frac{(-6)^2}{3} + \frac{(-6)^2}{2} + 2(-6) - 2 \] \[ f(-6) = -\frac{36}{3} + \frac{36}{2} - 12 - 2 \] \[ f(-6) = -12 + 18 - 12 - 2 \] \[ f(-6) = -8 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số là \( y_1 = -8 \). Bước 5: Kiểm tra xem hàm số có điểm cực đại hay không. Vì hàm số là đa thức bậc hai và hệ số của \( x^2 \) âm, hàm số không có điểm cực đại. Bước 6: Tính \( P = 4y_1 + 4y_2 \): \[ P = 4(-8) + 4(0) \] \[ P = -32 \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười: \[ P = -32,0 \] Đáp số: \( P = -32,0 \)