Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi...

Bài 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật. - Để chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng nó có bốn góc vuông. 1. Xét tam giác vuông ABC vuông tại A, đường cao AH. Theo định nghĩa, AH vuông góc với BC. 2. Theo giả thiết, HD vuông góc với AB tại D và HE vuông góc với AC tại E. 3. Do đó, trong tứ giác ADHE: - Góc $\angle ADH = 90^\circ$ (do HD vuông góc với AB). - Góc $\angle AHE = 90^\circ$ (do HE vuông góc với AC). 4. Vì AH là đường cao của tam giác ABC, nên $\angle AHD = 90^\circ$ và $\angle AHE = 90^\circ$. 5. Từ các góc vuông trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác ADHE có bốn góc vuông, do đó ADHE là hình chữ nhật. b) Chứng minh tứ giác DMNE là hình thang. - Để chứng minh tứ giác DMNE là hình thang, ta cần chứng minh rằng nó có hai cạnh đối song song. 1. Xét tứ giác DMNE, ta cần chứng minh rằng DM song song với NE hoặc DE song song với MN. 2. Theo giả thiết, M và N lần lượt là trung điểm của HB và HC. 3. Do M và N là trung điểm, nên MN là đường trung bình của tam giác HBC. Theo tính chất đường trung bình, MN song song với BC và $MN = \frac{1}{2}BC$. 4. Trong tam giác vuông ABC, đường cao AH vuông góc với BC, do đó DE (nằm trên đường cao AH) cũng vuông góc với BC. 5. Vì MN song song với BC và DE vuông góc với BC, nên DE cũng vuông góc với MN. 6. Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác DMNE có hai cạnh đối song song (DE và MN), do đó DMNE là hình thang. Vậy, chúng ta đã chứng minh được tứ giác ADHE là hình chữ nhật và tứ giác DMNE là hình thang. Bài 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau: a) Chứng minh \( EF = \frac{BC}{2} \). - Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( MB = MC = \frac{BC}{2} \). - Xét hai tam giác vuông \( \triangle MEB \) và \( \triangle MFC \): - \( ME \bot AB \) và \( MF \bot AC \) theo giả thiết. - Do đó, \( ME \parallel MF \) và \( ME = MF \) vì \( M \) là trung điểm của \( BC \). - Xét hình thang \( MEFC \) có \( ME \parallel MF \) và \( ME = MF \), do đó \( MEFC \) là hình thang cân. - Trong hình thang cân \( MEFC \), đường trung bình \( EF \) nối trung điểm của hai cạnh bên \( ME \) và \( MF \), nên: \[ EF = \frac{MB + MC}{2} = \frac{\frac{BC}{2} + \frac{BC}{2}}{2} = \frac{BC}{2} \] b) Chứng minh \( KMFE \) là hình thang cân. - Gọi \( AK \) là đường cao của \( \triangle ABC \), do đó \( AK \bot BC \). - Xét hình thang \( KMFE \): - \( ME \parallel MF \) theo giả thiết. - \( K \) nằm trên \( AK \) và \( AK \bot BC \), do đó \( K \) nằm trên đường trung trực của \( BC \). - Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( KM \) là đường trung trực của \( BC \). - Do đó, \( KM \) cũng là đường trung trực của \( EF \) vì \( EF \) là đường trung bình của hình thang cân \( MEFC \). - Từ đó, \( KMFE \) là hình thang cân vì \( KM \) là đường trung trực của \( EF \). Vậy, chúng ta đã chứng minh được \( EF = \frac{BC}{2} \) và \( KMFE \) là hình thang cân. Bài 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần một cách chi tiết. a) Chứng minh D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC Vì M là trung điểm của BC, nên ta có \( BM = MC \). Xét tam giác vuông \( \Delta ABM \) tại A, ta có \( D \) là hình chiếu của \( M \) trên \( AB \). Do đó, \( AD \) vuông góc với \( BM \). Tương tự, xét tam giác vuông \( \Delta ACM \) tại A, ta có \( E \) là hình chiếu của \( M \) trên \( AC \). Do đó, \( AE \) vuông góc với \( CM \). Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = MC \). Do đó, trong hai tam giác vuông \( \Delta ABM \) và \( \Delta ACM \), ta có: - \( AD = AE \) (vì cùng là đoạn vuông góc từ M đến AB và AC) - \( BM = MC \) Vậy, \( D \) là trung điểm của \( AB \) và \( E \) là trung điểm của \( AC \). b) Chứng minh BDEM là hình bình hành Để chứng minh tứ giác \( BDEM \) là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. - Ta đã có \( D \) là trung điểm của \( AB \) và \( E \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AD = DB \) và \( AE = EC \). - Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), nên \( BM = MC \). - Xét hai tam giác vuông \( \Delta BDM \) và \( \Delta CEM \), ta có: - \( BD = CE \) (vì \( D \) và \( E \) là trung điểm) - \( BM = MC \) Do đó, \( BD = CE \) và \( DM = EM \). Vậy, tứ giác \( BDEM \) có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên \( BDEM \) là hình bình hành. c) Lấy N sao cho M là trung điểm của NE. Hạ \( EK \bot BC \). Chứng minh \( AK \bot KN \). - Vì \( M \) là trung điểm của \( NE \), nên \( NM = ME \). - Hạ \( EK \bot BC \), do đó \( EK \) vuông góc với \( BC \). - Xét tam giác vuông \( \Delta AEK \) tại \( E \), ta có \( AK \) là đường cao. - Xét tam giác vuông \( \Delta ENK \) tại \( E \), ta có \( EK \) là đường cao. - Vì \( M \) là trung điểm của \( NE \), nên \( NM = ME \). - Do đó, trong tam giác vuông \( \Delta AEK \) và \( \Delta ENK \), ta có: - \( AK \) vuông góc với \( EK \) - \( EK \) vuông góc với \( KN \) Vậy, \( AK \bot KN \).