giải dùm ạ

Câu 26: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = \frac{2x^2 + 12x + 8}{x + 6} \). 2. Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị. 3. Xác định giá trị cực tiểu \( y_1 \) và giá trị cực đại \( y_2 \). 4. Tính \( P = -y_1 + 2y_2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). Hàm số \( f(x) = \frac{2x^2 + 12x + 8}{x + 6} \). Sử dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ f'(x) = \frac{(2x^2 + 12x + 8)'(x + 6) - (2x^2 + 12x + 8)(x + 6)'}{(x + 6)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (2x^2 + 12x + 8)' = 4x + 12 \] \[ (x + 6)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ f'(x) = \frac{(4x + 12)(x + 6) - (2x^2 + 12x + 8)}{(x + 6)^2} \] Phát triển và đơn giản hóa: \[ f'(x) = \frac{4x^2 + 24x + 12x + 72 - 2x^2 - 12x - 8}{(x + 6)^2} \] \[ f'(x) = \frac{2x^2 + 24x + 64}{(x + 6)^2} \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \). \[ \frac{2x^2 + 24x + 64}{(x + 6)^2} = 0 \] Do mẫu số luôn dương, ta chỉ cần giải tử số: \[ 2x^2 + 24x + 64 = 0 \] Chia cả hai vế cho 2: \[ x^2 + 12x + 32 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{-12 \pm 4}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-12 + 4}{2} = -4 \] \[ x_2 = \frac{-12 - 4}{2} = -8 \] Bước 3: Xác định giá trị cực tiểu \( y_1 \) và giá trị cực đại \( y_2 \). Thay \( x_1 = -4 \) và \( x_2 = -8 \) vào hàm số \( f(x) \): \[ y_1 = f(-4) = \frac{2(-4)^2 + 12(-4) + 8}{-4 + 6} = \frac{32 - 48 + 8}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \] \[ y_2 = f(-8) = \frac{2(-8)^2 + 12(-8) + 8}{-8 + 6} = \frac{128 - 96 + 8}{-2} = \frac{40}{-2} = -20 \] Bước 4: Tính \( P = -y_1 + 2y_2 \). \[ P = -(-4) + 2(-20) = 4 - 40 = -36 \] Làm tròn đến hàng phần mười: \[ P \approx -36.0 \] Đáp án cuối cùng: \[ P = -36.0 \] Câu 27: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm khoảng thời gian mà nồng độ của thuốc trong máu đang tăng, tức là tìm khoảng mà đạo hàm của hàm số \( C(x) \) dương. Sau đó, ta tìm giá trị cực đại của hàm số \( C(x) \) trong khoảng thời gian 6 phút sau khi tiêm. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( C(x) \) Hàm số nồng độ thuốc trong máu được cho bởi: \[ C(x) = \frac{30x}{x^2 + 2} \] Ta sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức để tìm \( C'(x) \): \[ C'(x) = \frac{(x^2 + 2) \cdot 30 - 30x \cdot 2x}{(x^2 + 2)^2} \] Tính toán tử số: \[ (x^2 + 2) \cdot 30 - 30x \cdot 2x = 30x^2 + 60 - 60x^2 = -30x^2 + 60 \] Vậy: \[ C'(x) = \frac{-30x^2 + 60}{(x^2 + 2)^2} \] Bước 2: Tìm khoảng thời gian mà nồng độ thuốc đang tăng Nồng độ thuốc đang tăng khi \( C'(x) > 0 \): \[ \frac{-30x^2 + 60}{(x^2 + 2)^2} > 0 \] Điều này tương đương với: \[ -30x^2 + 60 > 0 \] Giải bất phương trình: \[ -30x^2 + 60 > 0 \] \[ 30x^2 < 60 \] \[ x^2 < 2 \] \[ -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \] Vì \( x \) là thời gian tính bằng phút và không âm, nên khoảng thời gian nồng độ thuốc đang tăng là: \[ 0 < x < \sqrt{2} \] Bước 3: Tìm giá trị cực đại của \( C(x) \) trong khoảng 0 đến 6 phút Ta cần tìm giá trị cực đại của \( C(x) \) trong khoảng \( 0 \leq x \leq 6 \). Tính \( C(x) \) tại các điểm quan trọng: - \( C(0) = \frac{30 \cdot 0}{0^2 + 2} = 0 \) - \( C(\sqrt{2}) = \frac{30\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2 + 2} = \frac{30\sqrt{2}}{4} = \frac{15\sqrt{2}}{2} \) - \( C(6) = \frac{30 \cdot 6}{6^2 + 2} = \frac{180}{36 + 2} = \frac{180}{38} = \frac{90}{19} \) So sánh các giá trị: - \( C(0) = 0 \) - \( C(\sqrt{2}) \approx \frac{15 \cdot 1.414}{2} \approx 10.6 \) - \( C(6) \approx \frac{90}{19} \approx 4.7 \) Vậy, giá trị cực đại của hàm số \( C(x) \) trong khoảng 0 đến 6 phút là khoảng 10.6, đạt được khi \( x = \sqrt{2} \) phút. Câu 28: Để tìm thời điểm mà số lượng vi khuẩn X bắt đầu giảm, chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( P(t) \) và xác định khoảng thời gian mà đạo hàm này âm. Hàm số cho trước là: \[ P(t) = \frac{t + 1}{2 + t + 4} = \frac{t + 1}{t + 6} \] Bước 1: Tính đạo hàm \( P'(t) \). Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ P'(t) = \frac{(t + 1)'(t + 6) - (t + 1)(t + 6)'}{(t + 6)^2} \] \[ P'(t) = \frac{1 \cdot (t + 6) - (t + 1) \cdot 1}{(t + 6)^2} \] \[ P'(t) = \frac{t + 6 - t - 1}{(t + 6)^2} \] \[ P'(t) = \frac{5}{(t + 6)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của \( P'(t) \). Do \( (t + 6)^2 > 0 \) với mọi \( t \geq 0 \), nên \( P'(t) = \frac{5}{(t + 6)^2} > 0 \) với mọi \( t \geq 0 \). Điều này có nghĩa là \( P(t) \) luôn tăng trên khoảng \( [0, +\infty) \). Do đó, số lượng vi khuẩn X không bao giờ bắt đầu giảm trong khoảng thời gian này. Kết luận: Số lượng vi khuẩn X không bao giờ bắt đầu giảm trong khoảng thời gian \( t \geq 0 \). Câu 29: Để giải quyết bài toán này, ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho diện tích mặt cắt của máng trượt là lớn nhất. Bước 1: Thiết lập phương trình Giả sử mặt cắt của máng trượt có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là \( y \) và chiều cao là \( x \). Theo hình vẽ, tổng chiều dài của hai cạnh bên và đáy là 80 cm, tức là: \[ 2x + y = 80 \] Bước 2: Biểu diễn diện tích theo \( x \) Diện tích \( A \) của mặt cắt hình chữ nhật là: \[ A = x \times y \] Từ phương trình \( 2x + y = 80 \), ta có: \[ y = 80 - 2x \] Thay vào biểu thức diện tích: \[ A = x(80 - 2x) = 80x - 2x^2 \] Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của diện tích Để tìm giá trị lớn nhất của \( A \), ta tính đạo hàm của \( A \) theo \( x \): \[ A' = 80 - 4x \] Giải phương trình \( A' = 0 \): \[ 80 - 4x = 0 \] \[ 4x = 80 \] \[ x = 20 \] Bước 4: Kiểm tra giá trị lớn nhất Ta cần kiểm tra xem \( x = 20 \) có phải là điểm cực đại không. Xét đạo hàm bậc hai: \[ A'' = -4 \] Vì \( A'' < 0 \), nên \( A \) đạt cực đại tại \( x = 20 \). Kết luận Giá trị lớn nhất của diện tích mặt cắt là khi \( x = 20 \) cm. Khi đó, máng trượt đảm bảo an toàn nhất cho trẻ em. Câu 30: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bài toán 1: Tìm diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = \frac{x^2 - 4x + 5}{x - 1} \) 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Hàm số xác định khi \( x \neq 1 \). 2. Tìm điểm cực trị của hàm số: - Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{(2x - 4)(x - 1) - (x^2 - 4x + 5)}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{2x^2 - 2x - 4x + 4 - x^2 + 4x - 5}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{x^2 - 1}{(x - 1)^2} \] \[ = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x + 1}{x - 1} \] - Đạo hàm \( y' = 0 \) khi \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \). - Xét dấu của \( y' \) để xác định cực trị: - Khi \( x < -1 \), \( y' < 0 \). - Khi \( x > -1 \), \( y' > 0 \). - Vậy \( x = -1 \) là điểm cực tiểu. 3. Tính giá trị hàm số tại điểm cực trị: - Tại \( x = -1 \), \( y = \frac{(-1)^2 - 4(-1) + 5}{-1 - 1} = \frac{1 + 4 + 5}{-2} = -5 \). 4. Tìm điểm cực đại: - Do hàm số có hai điểm cực trị, điểm còn lại là cực đại. - Tính đạo hàm tại \( x = 1 \) không xác định, do đó không phải là điểm cực trị. - Xét giới hạn khi \( x \to 1^- \) và \( x \to 1^+ \) để tìm điểm cực đại. 5. Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: - Giả sử hai điểm cực trị là \( A(-1, -5) \) và \( B(x_2, y_2) \). - Phương trình đường thẳng đi qua \( A \) và \( B \) có dạng: \[ y + 5 = m(x + 1) \] - Tìm \( m \) bằng cách sử dụng điểm \( B \). 6. Tính diện tích tam giác tạo bởi đường thẳng và hai trục tọa độ: - Giao điểm của đường thẳng với trục hoành \( x \)-axis: \( y = 0 \). - Giao điểm của đường thẳng với trục tung \( y \)-axis: \( x = 0 \). - Diện tích tam giác \( S = \frac{1}{2} \times \text{độ dài đáy} \times \text{chiều cao} \). Bài toán 2: Điều kiện đơn điệu của hàm số bậc ba 1. Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \): - \( y' = 3ax^2 + 2bx + c \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \). - Điều kiện: \( a > 0 \) và \( \Delta_Y \leq 0 \). 2. Hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \): - \( y' = 3ax^2 + 2bx + c \leq 0, \forall x \in \mathbb{R} \). - Điều kiện: \( a < 0 \) và \( \Delta_Y \leq 0 \). 3. Trường hợp \( a = 0 \): - Hàm số trở thành bậc hai, xét dấu của \( y' = 2bx + c \). 4. Hàm phân thức đồng biến: - \( y = \frac{ax + b}{cx + d} \) đồng biến khi \( ad - cb > 0 \). Với các bước trên, bạn có thể giải quyết bài toán một cách chi tiết và chính xác.