Giúp mình với!

Câu 13: Để xác định khoảng đơn điệu của hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 6x + 5} \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm tập xác định (TXĐ) của hàm số: Hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 6x + 5} \) có nghĩa khi biểu thức dưới dấu căn không âm: \[ x^2 - 6x + 5 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x^2 - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) \geq 0 \] Biểu đồ dấu của \( (x - 1)(x - 5) \) cho thấy: \[ x \leq 1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 5 \] Vậy TXĐ của hàm số là: \[ (-\infty, 1] \cup [5, +\infty) \] 2. Tính đạo hàm \( y' \): \[ y = \sqrt{x^2 - 6x + 5} \] Áp dụng công thức đạo hàm của căn bậc hai: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x^2 - 6x + 5} \right) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \cdot \frac{d}{dx} (x^2 - 6x + 5) \] Tính đạo hàm của \( x^2 - 6x + 5 \): \[ \frac{d}{dx} (x^2 - 6x + 5) = 2x - 6 \] Do đó: \[ y' = \frac{2x - 6}{2\sqrt{x^2 - 6x + 5}} = \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 5}} \] 3. Xác định dấu của \( y' \): - Trên khoảng \( (-\infty, 1] \): \[ x - 3 < 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{x^2 - 6x + 5} > 0 \] Suy ra: \[ y' < 0 \] Hàm số nghịch biến trên \( (-\infty, 1] \). - Trên khoảng \( [5, +\infty) \): \[ x - 3 > 0 \quad \text{và} \quad \sqrt{x^2 - 6x + 5} > 0 \] Suy ra: \[ y' > 0 \] Hàm số đồng biến trên \( [5, +\infty) \). 4. Kết luận: - Hàm số nghịch biến trên \( (-\infty, 1] \). - Hàm số đồng biến trên \( [5, +\infty) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{\text{A. Hàm số đồng biến trên khoảng } (5;+\infty).} \] Câu 1: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x(x-2)^3 \), ta cần xét dấu của đạo hàm này. 1. Tìm các điểm dừng và điểm suy biến: - Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ x(x-2)^3 = 0 \] Giải phương trình này: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x-2)^3 = 0 \implies x = 2 \] 2. Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định: - Các khoảng cần xét là \( (-\infty, 0) \), \( (0, 2) \), và \( (2, +\infty) \). - Trên khoảng \( (-\infty, 0) \): Chọn \( x = -1 \): \[ f'(-1) = (-1)(-1-2)^3 = (-1)(-3)^3 = (-1)(-27) = 27 > 0 \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên \( (-\infty, 0) \). - Trên khoảng \( (0, 2) \): Chọn \( x = 1 \): \[ f'(1) = (1)(1-2)^3 = (1)(-1)^3 = (1)(-1) = -1 < 0 \] Do đó, \( f'(x) < 0 \) trên \( (0, 2) \). - Trên khoảng \( (2, +\infty) \): Chọn \( x = 3 \): \[ f'(3) = (3)(3-2)^3 = (3)(1)^3 = (3)(1) = 3 > 0 \] Do đó, \( f'(x) > 0 \) trên \( (2, +\infty) \). 3. Kết luận: - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng mà \( f'(x) < 0 \). - Từ các kết quả trên, ta thấy rằng \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (0, 2) \). Do đó, hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (0, 1) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(0;1). \] Câu 2: Để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) = x^2 + 1 \), ta cần phân tích dấu của đạo hàm này trên các khoảng khác nhau. Bước 1: Xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Ta có: \[ f'(x) = x^2 + 1 \] Vì \( x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), nên: \[ x^2 + 1 > 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R} \] Bước 2: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số. Do \( f'(x) > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), hàm số \( f(x) \) đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó, tức là trên khoảng \( (-\infty; +\infty) \). Vậy, đáp án đúng là: C. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; +\infty) \). Câu 3: Để xác định khoảng mà hàm số \( y = f(x) \) đồng biến, chúng ta cần xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Đạo hàm đã cho là: \[ f'(x) = (1 - x)^2 (x + 1)^3 (3 - x) \] Bước 1: Xác định các điểm tới hạn (nơi đạo hàm bằng 0): \[ (1 - x)^2 = 0 \implies x = 1 \] \[ (x + 1)^3 = 0 \implies x = -1 \] \[ (3 - x) = 0 \implies x = 3 \] Như vậy, các điểm tới hạn là \( x = -1, 1, 3 \). Bước 2: Xét dấu của \( f'(x) \) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn này: - Khoảng \( (-\infty, -1) \) - Khoảng \( (-1, 1) \) - Khoảng \( (1, 3) \) - Khoảng \( (3, +\infty) \) Bước 3: Chọn một giá trị trong mỗi khoảng để kiểm tra dấu của \( f'(x) \): 1. Khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ f'(-2) = (1 - (-2))^2 ((-2) + 1)^3 (3 - (-2)) = (3)^2 (-1)^3 (5) = 9 \cdot (-1) \cdot 5 = -45 \] Dấu âm, tức là \( f'(x) < 0 \). 2. Khoảng \( (-1, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ f'(0) = (1 - 0)^2 (0 + 1)^3 (3 - 0) = (1)^2 (1)^3 (3) = 1 \cdot 1 \cdot 3 = 3 \] Dấu dương, tức là \( f'(x) > 0 \). 3. Khoảng \( (1, 3) \): Chọn \( x = 2 \): \[ f'(2) = (1 - 2)^2 (2 + 1)^3 (3 - 2) = (-1)^2 (3)^3 (1) = 1 \cdot 27 \cdot 1 = 27 \] Dấu dương, tức là \( f'(x) > 0 \). 4. Khoảng \( (3, +\infty) \): Chọn \( x = 4 \): \[ f'(4) = (1 - 4)^2 (4 + 1)^3 (3 - 4) = (-3)^2 (5)^3 (-1) = 9 \cdot 125 \cdot (-1) = -1125 \] Dấu âm, tức là \( f'(x) < 0 \). Bước 4: Kết luận: Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên các khoảng mà \( f'(x) > 0 \). Từ đó, ta thấy rằng hàm số đồng biến trên khoảng \( (-1, 1) \) và \( (1, 3) \). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~(1;3) \] Câu 4: Để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( y' = x^2 \), ta cần phân tích dấu của đạo hàm này trên các khoảng khác nhau. 1. Phân tích dấu của đạo hàm \( y' = x^2 \): - Đạo hàm \( y' = x^2 \) là một biểu thức bình phương, do đó nó luôn không âm (\( x^2 \geq 0 \)) cho mọi \( x \in \mathbb{R} \). 2. Xác định tính đơn điệu của hàm số: - Vì \( y' = x^2 \geq 0 \) cho mọi \( x \in \mathbb{R} \), hàm số \( y = f(x) \) sẽ đồng biến trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). 3. Kết luận: - Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên \( \mathbb{R} \). Do đó, mệnh đề đúng là: C. Hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \). Câu 5: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x^2 - 2) \), ta cần phân tích bảng xét dấu đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \). Bước 1: Xác định khoảng nghịch biến của \( f(x) \) Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm: - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (-1, 2) \). Bước 2: Xét hàm số \( y = f(x^2 - 2) \) Đặt \( t = x^2 - 2 \). Khi đó, hàm số trở thành \( y = f(t) \). Bước 3: Tìm điều kiện của \( t \) Với \( t = x^2 - 2 \), ta có: - \( x^2 = t + 2 \) - \( x^2 \geq 0 \Rightarrow t + 2 \geq 0 \Rightarrow t \geq -2 \) Bước 4: Xác định khoảng nghịch biến của \( f(x^2 - 2) \) Ta cần tìm khoảng của \( x \) sao cho \( t = x^2 - 2 \) nằm trong khoảng nghịch biến của \( f(t) \). Khoảng \( (-\infty, -1) \) của \( f(t) \) - \( t \in (-\infty, -1) \Rightarrow x^2 - 2 \in (-\infty, -1) \) - \( x^2 < 1 \Rightarrow -1 < x < 1 \) Khoảng \( (-1, 2) \) của \( f(t) \) - \( t \in (-1, 2) \Rightarrow x^2 - 2 \in (-1, 2) \) - \( 1 < x^2 < 4 \Rightarrow -2 < x < -1 \) hoặc \( 1 < x < 2 \) Kết luận Hàm số \( y = f(x^2 - 2) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 0) \). Vậy đáp án đúng là \(\boxed{(-1; 0)}\). Câu 6: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = f(2-3x) \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số này và xét dấu của nó. 1. Tính đạo hàm: Giả sử \( y = f(u) \) với \( u = 2 - 3x \). Khi đó, \( \frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot \frac{du}{dx} \). Ta có \( \frac{du}{dx} = -3 \), do đó: \[ \frac{dy}{dx} = f'(2-3x) \cdot (-3) = -3f'(2-3x) \] 2. Xét dấu của \(\frac{dy}{dx}\): Hàm số \( y = f(2-3x) \) đồng biến khi \(\frac{dy}{dx} > 0\), tức là: \[ -3f'(2-3x) > 0 \implies f'(2-3x) < 0 \] 3. Dựa vào bảng xét dấu của \( f'(x) \): Từ bảng xét dấu, ta thấy \( f'(x) < 0 \) trên các khoảng \((-∞, -3)\) và \((0, 1)\). 4. Tìm khoảng của \( x \): - Với \( 2 - 3x = -3 \), ta có \( x = \frac{5}{3} \). - Với \( 2 - 3x = 0 \), ta có \( x = \frac{2}{3} \). - Với \( 2 - 3x = 1 \), ta có \( x = \frac{1}{3} \). Do đó, \( f'(2-3x) < 0 \) khi \( 2-3x \) thuộc khoảng \((-∞, -3)\) hoặc \((0, 1)\), tương ứng với: - \( x \in \left(\frac{5}{3}, +∞\right) \) hoặc \( x \in \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \). Tuy nhiên, khoảng \(\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)\) không tồn tại vì \(\frac{2}{3} > \frac{1}{3}\). 5. Kết luận: Hàm số \( y = f(2-3x) \) đồng biến trên khoảng \(\left(\frac{5}{3}, +∞\right)\). Trong các đáp án cho trước, khoảng này tương ứng với \( (0, 1) \) khi đổi ngược lại theo biến \( x \). Vậy, đáp án đúng là \( C.~(0;1) \). Câu 7: Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( g(x) = f(2019 - 2020x) \), ta cần tìm khoảng mà đạo hàm của hàm số này dương. Bước 1: Tính đạo hàm của \( g(x) \) Hàm số \( g(x) = f(2019 - 2020x) \) có đạo hàm là: \[ g'(x) = f'(2019 - 2020x) \cdot (-2020) \] Để \( g(x) \) đồng biến, cần \( g'(x) > 0 \). Do đó: \[ f'(2019 - 2020x) \cdot (-2020) > 0 \implies f'(2019 - 2020x) < 0 \] Bước 2: Xác định khoảng mà \( f'(x) < 0 \) Quan sát đồ thị của \( y = f'(x) \), ta thấy \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (0, 2) \). Bước 3: Tìm khoảng tương ứng của \( x \) cho \( g(x) \) đồng biến Ta cần giải bất phương trình: \[ 2019 - 2020x \in (0, 2) \] Giải bất phương trình: \[ 0 < 2019 - 2020x < 2 \] - Giải \( 0 < 2019 - 2020x \): \[ 2019 > 2020x \implies x < \frac{2019}{2020} \] - Giải \( 2019 - 2020x < 2 \): \[ 2017 < 2020x \implies x > \frac{2017}{2020} \] Kết hợp hai bất phương trình, ta có: \[ \frac{2017}{2020} < x < \frac{2019}{2020} \] Bước 4: So sánh với các đáp án Khoảng \(\left(\frac{2017}{2020}, \frac{2019}{2020}\right)\) tương ứng với khoảng \((0, 1)\). Vậy, hàm số \( g(x) \) đồng biến trên khoảng \( (0, 1) \). Đáp án đúng là C. \((0, 1)\).