Giải phương trình nghiệm nguyên dương $2x^2-5xy+3y^2-x+3y-4=0$.

Ta có: \(2x^2-5xy+3y^2-x+3y-4=0\) \(\Leftrightarrow 2x^2-2xy-3xy+3y^2-x+3y-4=0\) \(\Leftrightarrow 2x(x-y)-3y(x-y)-(x-3y+4)=0\) \(\Leftrightarrow (x-y)(2x-3y)-(x-3y+4)=0\) \(\Leftrightarrow (x-y-1)(2x-3y)+(-x+3y-4)=0\) \(\Leftrightarrow (x-y-1)(2x-3y)+(3y-x-4)=0\) \(\Leftrightarrow (x-y-1)(2x-3y)-(x-y-4)=0\) \(\Leftrightarrow (x-y-1)(2x-3y-1)=5\) Từ đây ta có các trường hợp sau: 1) \(x-y-1=1\) và \(2x-3y-1=5\) 2) \(x-y-1=-1\) và \(2x-3y-1=-5\) 3) \(x-y-1=5\) và \(2x-3y-1=1\) 4) \(x-y-1=-5\) và \(2x-3y-1=-1\) Giải các trường hợp trên ta được các cặp nghiệm nguyên dương \((x,y)\) là: \((x,y)=(6,4);(4,2);(8,6);(2,0)\) Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm nguyên dương là \((x,y)=(6,4);(4,2);(8,6);(2,0)\).