Giải toán ạ

Câu 17: Để giải bài toán này, ta cần phân tích hàm số \( g(x) = f(x^2 - 2x) \). Bước 1: Tìm điều kiện đồng biến của \( g(x) \) Hàm số \( g(x) \) đồng biến khi đạo hàm của nó \( g'(x) > 0 \). Ta có: \[ g'(x) = f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) \] Để \( g'(x) > 0 \), cần: \[ f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) > 0 \] Bước 2: Phân tích dấu của \( f'(x) \) Dựa vào đồ thị của \( f'(x) \), ta thấy: - \( f'(x) > 0 \) trên các khoảng \((-3, -1)\) và \((0, 2)\). - \( f'(x) < 0 \) trên các khoảng \((-1, 0)\) và \((2, \infty)\). Bước 3: Xét dấu của \( 2x - 2 \) - \( 2x - 2 > 0 \) khi \( x > 1 \). - \( 2x - 2 < 0 \) khi \( x < 1 \). Bước 4: Xác định các khoảng đồng biến của \( g(x) \) Ta cần xét các khoảng mà tích \( f'(x^2 - 2x) \cdot (2x - 2) > 0 \). 1. Khoảng \((-3, -1)\): - \( x^2 - 2x \in (-3, -1) \) khi \( f'(x^2 - 2x) > 0 \). - \( 2x - 2 < 0 \) khi \( x < 1 \). 2. Khoảng \((0, 2)\): - \( x^2 - 2x \in (0, 2) \) khi \( f'(x^2 - 2x) > 0 \). - \( 2x - 2 > 0 \) khi \( x > 1 \). Bước 5: Giải các bất phương trình 1. Khoảng \((-3, -1)\): - \( x^2 - 2x + 3 < 0 \) - Giải: \( (x-3)(x+1) < 0 \) cho \( x \in (-1, 3) \). 2. Khoảng \((0, 2)\): - \( x^2 - 2x \in (0, 2) \) - Giải: \( x(x-2) < 0 \) cho \( x \in (0, 2) \). Bước 6: Xác định các khoảng đồng biến - Khoảng \((-3, -1)\) tương ứng với \( x \in (-\infty, -1) \). - Khoảng \((0, 2)\) tương ứng với \( x \in (1, 2)\). Bước 7: Tính \( a + b + c \) Từ các khoảng đồng biến: - \( a = -1 \) - \( b = 1 \) - \( c = 2 \) Vậy, \( a + b + c = -1 + 1 + 2 = 2 \). Kết luận: \( a + b + c = 2 \). Câu 18: Để tìm các khoảng nghịch biến của hàm số \( y = -x^4 + 2x^2 + 1 \), ta cần tính đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 1) = -4x^3 + 4x \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -4x^3 + 4x = 0 \] \[ -4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ -4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] Từ đó, ta có các nghiệm: \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] Bước 3: Xét dấu của đạo hàm \( y' \) trên các khoảng xác định bởi các nghiệm này: - Khoảng \((-\infty, -1)\): Chọn \( x = -2 \) \[ y' = -4(-2)^3 + 4(-2) = -4(-8) - 8 = 32 - 8 = 24 > 0 \] Hàm số đồng biến trên khoảng này. - Khoảng \((-1, 0)\): Chọn \( x = -0.5 \) \[ y' = -4(-0.5)^3 + 4(-0.5) = -4(-0.125) - 2 = 0.5 - 2 = -1.5 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên khoảng này. - Khoảng \((0, 1)\): Chọn \( x = 0.5 \) \[ y' = -4(0.5)^3 + 4(0.5) = -4(0.125) + 2 = -0.5 + 2 = 1.5 > 0 \] Hàm số đồng biến trên khoảng này. - Khoảng \((1, +\infty)\): Chọn \( x = 2 \) \[ y' = -4(2)^3 + 4(2) = -4(8) + 8 = -32 + 8 = -24 < 0 \] Hàm số nghịch biến trên khoảng này. Bước 4: Kết luận các khoảng nghịch biến của hàm số: \[ (-1, 0) \quad \text{và} \quad (1, +\infty) \] Do đó, \( a = -1 \), \( b = 0 \), và \( c = 1 \). Bước 5: Tính \( a + 2024b + c \): \[ a + 2024b + c = -1 + 2024 \cdot 0 + 1 = -1 + 0 + 1 = 0 \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{0} \] Câu 19: Để hàm số \( y = \frac{x^2 + x + m^2 - 6}{x + 2} \) đơn điệu trên mỗi khoảng xác định, ta cần xét đạo hàm của hàm số và đảm bảo rằng đạo hàm không đổi dấu trên mỗi khoảng xác định. Bước 1: Xác định miền xác định của hàm số. Miền xác định của hàm số là \( D = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số. Ta có: \[ y' = \frac{(2x + 1)(x + 2) - (x^2 + x + m^2 - 6)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4x + x + 2 - x^2 - x - m^2 + 6}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 4x + 8 - m^2}{(x + 2)^2} \] Bước 3: Đặt \( f(x) = x^2 + 4x + 8 - m^2 \). Hàm số \( y \) sẽ đơn điệu trên mỗi khoảng xác định nếu \( f(x) \) không đổi dấu trên mỗi khoảng xác định. Bước 4: Xét dấu của \( f(x) \). \[ f(x) = x^2 + 4x + 8 - m^2 \] \[ f(x) = (x + 2)^2 + 4 - m^2 \] Để \( f(x) \) không đổi dấu, \( f(x) \) phải luôn dương hoặc luôn âm trên mỗi khoảng xác định. Vì \( (x + 2)^2 \geq 0 \) nên \( f(x) \) luôn dương nếu \( 4 - m^2 > 0 \). Bước 5: Giải bất phương trình \( 4 - m^2 > 0 \). \[ 4 - m^2 > 0 \] \[ m^2 < 4 \] \[ -2 < m < 2 \] Bước 6: Xác định các giá trị nguyên của \( m \). Các giá trị nguyên của \( m \) trong khoảng \( -2 < m < 2 \) là \( m = -1, 0, 1 \). Vậy số giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng xác định là 3. Câu 20: Để tìm khoảng nhiệt độ \((a; b)\) mà trong khoảng đó khi nhiệt độ tăng thì thể tích \(V\) của 1kg nước cũng tăng, ta cần tìm khoảng mà đạo hàm của \(V\) theo \(T\) dương. Bước 1: Tìm đạo hàm của \(V\) theo \(T\): \[ V = 999,87 - 0,06426T + 0,0085043T^2 - 0,0000679T^3 \] \[ V' = -0,06426 + 2 \cdot 0,0085043T - 3 \cdot 0,0000679T^2 \] \[ V' = -0,06426 + 0,0170086T - 0,0002037T^2 \] Bước 2: Giải bất phương trình \(V' > 0\): \[ -0,06426 + 0,0170086T - 0,0002037T^2 > 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình \(V' = 0\): \[ -0,06426 + 0,0170086T - 0,0002037T^2 = 0 \] Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(aT^2 + bT + c = 0\): \[ a = -0,0002037 \] \[ b = 0,0170086 \] \[ c = -0,06426 \] \[ \Delta = b^2 - 4ac \] \[ \Delta = (0,0170086)^2 - 4(-0,0002037)(-0,06426) \] \[ \Delta = 0,0002893 - 0,0000523 \] \[ \Delta = 0,000237 \] \[ T = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \] \[ T = \frac{-0,0170086 \pm \sqrt{0,000237}}{2(-0,0002037)} \] \[ T = \frac{-0,0170086 \pm 0,0154}{-0,0004074} \] \[ T_1 = \frac{-0,0170086 + 0,0154}{-0,0004074} \approx 4,0 \] \[ T_2 = \frac{-0,0170086 - 0,0154}{-0,0004074} \approx 81,0 \] Bước 4: Xác định khoảng nhiệt độ \((a; b)\) mà trong khoảng đó \(V'\) dương: \[ a = 4,0 \] \[ b = 81,0 \] Bước 5: Tính giá trị biểu thức \(P = b - a\): \[ P = 81,0 - 4,0 = 77,0 \] Đáp số: \(P = 77,0\) Câu 21: Để tìm số điểm cực đại của hàm số \( y = 2\sin^2 x - x \) trên khoảng \( (0; 100) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y \). Ta có: \[ y = 2\sin^2 x - x \] Sử dụng công thức đạo hàm: \[ \frac{d}{dx}(\sin^2 x) = 2\sin x \cos x \] Do đó: \[ y' = \frac{d}{dx}(2\sin^2 x) - \frac{d}{dx}(x) \] \[ y' = 2 \cdot 2\sin x \cos x - 1 \] \[ y' = 4\sin x \cos x - 1 \] \[ y' = 2\sin(2x) - 1 \] Bước 2: Tìm các giá trị của \( x \) sao cho \( y' = 0 \). \[ 2\sin(2x) - 1 = 0 \] \[ 2\sin(2x) = 1 \] \[ \sin(2x) = \frac{1}{2} \] Các giá trị của \( 2x \) thỏa mãn \( \sin(2x) = \frac{1}{2} \) là: \[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \] \[ x = \frac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \] Bước 3: Xác định các giá trị của \( x \) trong khoảng \( (0; 100) \). Ta cần tìm các giá trị \( k \) sao cho \( x \) nằm trong khoảng \( (0; 100) \). \[ 0 < \frac{\pi}{12} + k\pi < 100 \] \[ 0 < \frac{5\pi}{12} + k\pi < 100 \] Giải bất đẳng thức: \[ -\frac{\pi}{12} < k\pi < 100 - \frac{\pi}{12} \] \[ -\frac{1}{12} < k < \frac{100}{\pi} - \frac{1}{12} \] Tương tự: \[ -\frac{5\pi}{12} < k\pi < 100 - \frac{5\pi}{12} \] \[ -\frac{5}{12} < k < \frac{100}{\pi} - \frac{5}{12} \] Do \( \pi \approx 3.14 \): \[ \frac{100}{\pi} \approx 31.83 \] Vậy: \[ -\frac{1}{12} < k < 31.83 - \frac{1}{12} \] \[ -\frac{5}{12} < k < 31.83 - \frac{5}{12} \] Làm tròn: \[ -0.083 < k < 31.75 \] \[ -0.417 < k < 31.35 \] Vì \( k \) là số nguyên, nên: \[ k = 0, 1, 2, \ldots, 31 \] Như vậy, có 32 giá trị của \( k \) cho mỗi trường hợp \( x = \frac{\pi}{12} + k\pi \) và \( x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \). Bước 4: Kiểm tra tính chất cực đại tại các điểm này. Để kiểm tra tính chất cực đại, ta xét dấu của \( y' \) trước và sau các điểm này. - Nếu \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm, thì điểm đó là điểm cực đại. Do \( y' = 2\sin(2x) - 1 \), ta thấy rằng \( y' \) sẽ đổi dấu từ dương sang âm tại các điểm \( x = \frac{\pi}{12} + k\pi \) và \( x = \frac{5\pi}{12} + k\pi \). Vậy, tổng cộng có 32 điểm cực đại của hàm số \( y = 2\sin^2 x - x \) trên khoảng \( (0; 100) \). Câu 22: Để giải bài toán này, ta cần xác định vị trí điểm D trên đoạn AC sao cho chi phí lắp đặt hệ thống dây cáp ADB là thấp nhất. Bước 1: Đặt ẩn và điều kiện Gọi \( x \) là khoảng cách từ A đến D (tính bằng km), khi đó \( 0 \leq x \leq 9 \). Bước 2: Biểu thức chi phí - Chiều dài đoạn AD là \( x \) km. - Chiều dài đoạn DB có thể tính bằng định lý Pythagore trong tam giác vuông BDC: \[ DB = \sqrt{(9 - x)^2 + 6^2} = \sqrt{(9 - x)^2 + 36} \] Chi phí lắp đặt: - Trên bờ: \( 50 \times x \) triệu đồng. - Dưới nước: \( 130 \times \sqrt{(9 - x)^2 + 36} \) triệu đồng. Tổng chi phí \( C(x) \) là: \[ C(x) = 50x + 130\sqrt{(9 - x)^2 + 36} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( C(x) \) Tính đạo hàm của \( C(x) \): \[ C'(x) = 50 + 130 \cdot \frac{-(9-x)}{\sqrt{(9-x)^2 + 36}} \] Đặt \( C'(x) = 0 \): \[ 50 = 130 \cdot \frac{9-x}{\sqrt{(9-x)^2 + 36}} \] Giải phương trình: \[ 50\sqrt{(9-x)^2 + 36} = 130(9-x) \] \[ \sqrt{(9-x)^2 + 36} = \frac{130(9-x)}{50} \] \[ (9-x)^2 + 36 = \left(\frac{130(9-x)}{50}\right)^2 \] Giải phương trình này để tìm \( x \). Bước 4: Tính chi phí thấp nhất Sau khi tìm được \( x \), thay vào biểu thức \( C(x) \) để tính chi phí thấp nhất. Kết luận Giá trị nhỏ nhất của chi phí lắp đặt là số tiền mà bạn tính được từ bước trên.