Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số sau

Để tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \( y = \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ) Biểu thức dưới dấu căn phải không âm và mẫu số phải khác 0. Do đó, ta có: - \( x^2 - 3x + 2 \geq 0 \) - \( x \neq 0 \) Giải bất phương trình \( x^2 - 3x + 2 \geq 0 \): - Phương trình \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) có nghiệm \( x = 1 \) và \( x = 2 \). - Xét dấu tam thức: - Với \( x < 1 \), \( x^2 - 3x + 2 > 0 \). - Với \( 1 < x < 2 \), \( x^2 - 3x + 2 < 0 \). - Với \( x > 2 \), \( x^2 - 3x + 2 > 0 \). Vậy, ĐKXĐ của hàm số là \( x \in (-\infty, 1] \cup [2, +\infty) \) và \( x \neq 0 \). 2. Tiệm cận đứng Tiệm cận đứng xảy ra khi hàm số không xác định và có giới hạn vô cùng tại điểm đó. Xét các điểm không xác định trong ĐKXĐ: - Tại \( x = 0 \), hàm số không xác định. Xét giới hạn: \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{2}}{x} = +\infty \] \[ \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sqrt{2}}{x} = -\infty \] Do đó, \( x = 0 \) là tiệm cận đứng. 3. Tiệm cận ngang Tiệm cận ngang xảy ra khi giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm\infty \) là một số hữu hạn. Xét giới hạn: - Khi \( x \to +\infty \): \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2(1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}}{x} = 1 \] - Khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 3x + 2}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2(1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2})}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x\sqrt{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}}{x} = -1 \] Vậy, hàm số có tiệm cận ngang \( y = 1 \) khi \( x \to +\infty \) và \( y = -1 \) khi \( x \to -\infty \). Kết luận - Tiệm cận đứng: \( x = 0 \). - Tiệm cận ngang: \( y = 1 \) và \( y = -1 \).