Cho n là số nguyên dương. CMR: $A=2^{3n+1}+2^{3n-1}+1$ là hợp số.

Ta có: \[ A = 2^{3n+1} + 2^{3n-1} + 1 \] Phân tích các lũy thừa của 2: \[ 2^{3n+1} = 2 \cdot 2^{3n} \] \[ 2^{3n-1} = \frac{2^{3n}}{2} \] Thay vào biểu thức A: \[ A = 2 \cdot 2^{3n} + \frac{2^{3n}}{2} + 1 \] Gộp các hạng tử có chứa \(2^{3n}\): \[ A = 2^{3n} \left( 2 + \frac{1}{2} \right) + 1 \] \[ A = 2^{3n} \cdot \frac{5}{2} + 1 \] Nhân chung \(2^{3n}\) với \(\frac{5}{2}\): \[ A = \frac{5 \cdot 2^{3n}}{2} + 1 \] Biến đổi tiếp: \[ A = \frac{5 \cdot 2^{3n} + 2}{2} \] Do \(5 \cdot 2^{3n} + 2\) là một số chẵn, nên \(A\) là một số nguyên. Xét \(5 \cdot 2^{3n} + 2\): \[ 5 \cdot 2^{3n} + 2 = 2(5 \cdot 2^{3n-1} + 1) \] Vậy \(A\) có thể viết dưới dạng: \[ A = \frac{2(5 \cdot 2^{3n-1} + 1)}{2} = 5 \cdot 2^{3n-1} + 1 \] Do đó, \(A\) là một số nguyên và có thể chia hết cho 5 hoặc 2, tùy thuộc vào giá trị của \(n\). Vì vậy, \(A\) là một hợp số.