Trả lời câu 4 và giải thích cách giải

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ đi qua từng phần của câu 4 và tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) trong mỗi trường hợp. Câu 4: a) \(\sin\alpha=\frac{\sqrt{15}}{4}\) với \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\) 1. Xác định góc \(\alpha\): - Vì \(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\), góc \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ hai. - Trong góc phần tư thứ hai, \(\sin\alpha\) dương, \(\cos\alpha\) âm. 2. Tính \(\cos\alpha\): - Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). - Thay \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}\) vào công thức: \[ \left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)^2 + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \frac{15}{16} + \cos^2\alpha = 1 \] \[ \cos^2\alpha = 1 - \frac{15}{16} = \frac{1}{16} \] \[ \cos\alpha = \pm\frac{1}{4} \] - Vì \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ hai, \(\cos\alpha\) phải âm, do đó \(\cos\alpha = -\frac{1}{4}\). 3. Kết luận: - Giá trị lượng giác của \(\alpha\) là \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}\) và \(\cos\alpha = -\frac{1}{4}\). b) \(\cos\alpha=-\frac{2}{3}\) với \(-\pi<\alpha<0\) 1. Xác định góc \(\alpha\): - Vì \(-\pi<\alpha<0\), góc \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ ba hoặc thứ tư. - Trong góc phần tư thứ ba, \(\cos\alpha\) âm và \(\sin\alpha\) âm. 2. Tính \(\sin\alpha\): - Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). - Thay \(\cos\alpha = -\frac{2}{3}\) vào công thức: \[ \sin^2\alpha + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{4}{9} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \] \[ \sin\alpha = \pm\frac{\sqrt{5}}{3} \] - Vì \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ ba, \(\sin\alpha\) phải âm, do đó \(\sin\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}\). 3. Kết luận: - Giá trị lượng giác của \(\alpha\) là \(\cos\alpha = -\frac{2}{3}\) và \(\sin\alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3}\). c) \(\tan\alpha=3\) với \(-\pi<\alpha<0\) 1. Xác định góc \(\alpha\): - Vì \(-\pi<\alpha<0\), góc \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ ba hoặc thứ tư. - Trong góc phần tư thứ ba, \(\tan\alpha\) dương. 2. Tính \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\): - Sử dụng công thức \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\). - Giả sử \(\sin\alpha = 3k\) và \(\cos\alpha = k\), ta có: \[ \tan\alpha = \frac{3k}{k} = 3 \] - Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). \[ (3k)^2 + k^2 = 1 \] \[ 9k^2 + k^2 = 1 \] \[ 10k^2 = 1 \] \[ k^2 = \frac{1}{10} \] \[ k = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} \] - Vì \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ ba, \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\) đều âm: \[ \sin\alpha = -3\cdot\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} \] \[ \cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{\sqrt{10}}{10} \] 3. Kết luận: - Giá trị lượng giác của \(\alpha\) là \(\tan\alpha = 3\), \(\sin\alpha = -\frac{3\sqrt{10}}{10}\), và \(\cos\alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}\). d) \(\cot\alpha=-2\) với \(0<\alpha<\pi\) 1. Xác định góc \(\alpha\): - Vì \(0<\alpha<\pi\), góc \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ nhất hoặc thứ hai. - Trong góc phần tư thứ hai, \(\cot\alpha\) âm. 2. Tính \(\sin\alpha\) và \(\cos\alpha\): - Sử dụng công thức \(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\). - Giả sử \(\cos\alpha = -2k\) và \(\sin\alpha = k\), ta có: \[ \cot\alpha = \frac{-2k}{k} = -2 \] - Sử dụng công thức lượng giác cơ bản: \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). \[ k^2 + (-2k)^2 = 1 \] \[ k^2 + 4k^2 = 1 \] \[ 5k^2 = 1 \] \[ k^2 = \frac{1}{5} \] \[ k = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} \] - Vì \(\alpha\) nằm ở góc phần tư thứ hai, \(\sin\alpha\) dương và \(\cos\alpha\) âm: \[ \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \] \[ \cos\alpha = -2\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} \] 3. Kết luận: - Giá trị lượng giác của \(\alpha\) là \(\cot\alpha = -2\), \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}\), và \(\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Trên đây là cách giải chi tiết cho từng trường hợp của câu 4.