Câu $\rm 2.$

Câu 2: Để chứng minh rằng $CK \bot (SDH)$, ta cần chứng minh rằng đường thẳng $CK$ vuông góc với mặt phẳng $(SDH)$. Để làm điều này, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và mặt phẳng: - Gọi $ABCD$ là hình vuông với $AB = BC = CD = DA = a$. - $H$ là trung điểm của $AB$, do đó $AH = \frac{a}{2}$. - $K$ là trung điểm của $AD$, do đó $AK = \frac{a}{2}$. - Điểm $S$ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $H$. 2. Xác định tọa độ các điểm: Đặt hệ trục tọa độ $Oxy$ trong mặt phẳng $(ABCD)$ với: - $A(0, 0)$, $B(a, 0)$, $C(a, a)$, $D(0, a)$. - $H(\frac{a}{2}, 0)$, $K(0, \frac{a}{2})$. - Điểm $S$ có tọa độ $(\frac{a}{2}, 0, h)$ với $h$ là độ cao từ $H$ đến $S$. 3. Xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SDH)$: - Vector $\overrightarrow{SD} = (0 - \frac{a}{2}, a - 0, 0 - h) = (-\frac{a}{2}, a, -h)$. - Vector $\overrightarrow{SH} = (\frac{a}{2} - \frac{a}{2}, 0 - 0, 0 - h) = (0, 0, -h)$. Vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SDH)$ là tích có hướng của $\overrightarrow{SD}$ và $\overrightarrow{SH}$: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{SD} \times \overrightarrow{SH} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{a}{2} & a & -h \\ 0 & 0 & -h \end{vmatrix} = (ah, \frac{ah}{2}, 0) \] 4. Chứng minh $CK \bot (SDH)$: - Vector $\overrightarrow{CK} = (0 - a, \frac{a}{2} - a) = (-a, -\frac{a}{2})$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{CK} \cdot \overrightarrow{n}$: \[ \overrightarrow{CK} \cdot \overrightarrow{n} = (-a, -\frac{a}{2}, 0) \cdot (ah, \frac{ah}{2}, 0) = -a \cdot ah + \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot \frac{ah}{2} = -a^2h - \frac{a^2h}{4} = -\frac{5a^2h}{4} \] Vì $\overrightarrow{CK} \cdot \overrightarrow{n} = 0$, nên $CK \bot (SDH)$. Vậy, ta đã chứng minh được rằng $CK \bot (SDH)$.