Giải hộ mình câu này với các bạn 7. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt2$ Tính thể tích khởi,chóp.

Question

Accepted Answer

Để tính thể tích của hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy:

Hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông $ ABCD $ với cạnh $ a $. Tâm của hình vuông $ ABCD $ là giao điểm của hai đường chéo, và bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là nửa độ dài đường chéo của hình vuông.

Độ dài đường chéo của hình vuông $ ABCD $ là:
   $$
   AC = BD = a\sqrt{2}
   $$

Do đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là:
   $$
   R = \frac{a\sqrt{2}}{2}
   $$

2. Tính chiều cao của hình chóp:

Vì hình chóp là tứ giác đều, nên đỉnh $ S $ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm $ O $ của hình vuông $ ABCD $. Cạnh bên $ SA = a\sqrt{2} $.

Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông $ SAO $, ta có:
   $$
   SA^2 = SO^2 + OA^2
   $$

Thay các giá trị đã biết vào, ta có:
   $$
   (a\sqrt{2})^2 = SO^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2
   $$

$$
   2a^2 = SO^2 + \frac{a^2}{2}
   $$

$$
   SO^2 = 2a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{4a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = \frac{3a^2}{2}
   $$

$$
   SO = \sqrt{\frac{3a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2}
   $$

3. Tính thể tích của hình chóp:

Thể tích $ V $ của hình chóp được tính bằng công thức:
   $$
   V = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}
   $$

Diện tích đáy $ ABCD $ là:
   $$
   S_{ABCD} = a^2
   $$

Chiều cao $ SO = \frac{a\sqrt{6}}{2} $.

Do đó, thể tích của hình chóp là:
   $$
   V = \frac{1}{3} \times a^2 \times \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{a^3\sqrt{6}}{6}
   $$

Vậy, thể tích của hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ là $ \frac{a^3\sqrt{6}}{6} $.