Giải hộ mình câu này với các bạn 8. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $(d):\frac{x-1}2=\frac{y+2}{-1}=\frac z3$ với mặt phẳng $(P):x+y+$,$z-4=0.$,9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, $SA\bot(ABCD),~SA=a.$ Tính khoảng cách,từ S đến đường chéo BD.

Question

Accepted Answer

Bài 8: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $(d):\frac{x-1}2=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{3}$ với mặt phẳng $(P):x+y+z-4=0.$

Bước 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng $(d)$.

Đường thẳng $(d)$ có phương trình tham số:
$$
\begin{cases}
x = 1 + 2t, \
y = -2 - t, \
z = 3t.
\end{cases}
$$

Bước 2: Tìm giao điểm của $(d)$ với mặt phẳng $(P)$.

Thay các phương trình tham số của $(d)$ vào phương trình của mặt phẳng $(P)$:
$$
(1 + 2t) + (-2 - t) + 3t - 4 = 0.
$$

Rút gọn phương trình:
$$
1 + 2t - 2 - t + 3t - 4 = 0 \implies 4t - 5 = 0.
$$

Giải phương trình:
$$
4t = 5 \implies t = \frac{5}{4}.
$$

Bước 3: Tìm tọa độ giao điểm.

Thay $t = \frac{5}{4}$ vào phương trình tham số của $(d)$:
$$
\begin{cases}
x = 1 + 2 \times \frac{5}{4} = 1 + \frac{10}{4} = \frac{14}{4} = \frac{7}{2}, \
y = -2 - \frac{5}{4} = -\frac{8}{4} - \frac{5}{4} = -\frac{13}{4}, \
z = 3 \times \frac{5}{4} = \frac{15}{4}.
\end{cases}
$$

Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng $(d)$ với mặt phẳng $(P)$ là $\left(\frac{7}{2}, -\frac{13}{4}, \frac{15}{4}\right)$.

Bài 9: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\bot(ABCD),~SA=a.$ Tính khoảng cách từ $S$ đến đường chéo $BD$.

Bước 1: Xác định tọa độ các điểm.

Giả sử $A(0, 0, 0)$, $B(a, 0, 0)$, $C(a, a, 0)$, $D(0, a, 0)$, và $S(0, 0, a)$.

Bước 2: Tìm phương trình đường thẳng $BD$.

Đường thẳng $BD$ có phương trình tham số:
$$
\begin{cases}
x = t, \
y = a - t, \
z = 0,
\end{cases}
$$
với $t \in [0, a]$.

Bước 3: Tính khoảng cách từ $S$ đến đường thẳng $BD$.

Khoảng cách từ điểm $S(0, 0, a)$ đến đường thẳng $BD$ được tính bằng công thức:
$$
d = \frac{|(0 - a)(a - 0) - (0 - 0)(0 - a) + (a - 0)(0 - 0)|}{\sqrt{(a - 0)^2 + (0 - a)^2 + (0 - 0)^2}}.
$$

Tính tử số:
$$
|(0 - a)(a) - 0 + a \times 0| = |0 - a^2| = a^2.
$$

Tính mẫu số:
$$
\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.
$$

Vậy khoảng cách từ $S$ đến đường thẳng $BD$ là:
$$
d = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}.
$$

Vậy khoảng cách từ $S$ đến đường chéo $BD$ là $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.