Giup mik vs

Câu 62: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho đạt cực đại tại \( x = 1 \), chúng ta sẽ kiểm tra đạo hàm bậc nhất và đạo hàm bậc hai của từng hàm số tại điểm \( x = 1 \). Kiểm tra hàm số \( A. y = x^5 - 5x^2 + 5x - 13 \) 1. Tính đạo hàm bậc nhất: \[ y' = 5x^4 - 10x + 5 \] Thay \( x = 1 \): \[ y'(1) = 5(1)^4 - 10(1) + 5 = 5 - 10 + 5 = 0 \] 2. Tính đạo hàm bậc hai: \[ y'' = 20x^3 - 10 \] Thay \( x = 1 \): \[ y''(1) = 20(1)^3 - 10 = 20 - 10 = 10 > 0 \] Vì \( y''(1) > 0 \), hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \). Kiểm tra hàm số \( B. y = x^4 - 4x + 3 \) 1. Tính đạo hàm bậc nhất: \[ y' = 4x^3 - 4 \] Thay \( x = 1 \): \[ y'(1) = 4(1)^3 - 4 = 4 - 4 = 0 \] 2. Tính đạo hàm bậc hai: \[ y'' = 12x^2 \] Thay \( x = 1 \): \[ y''(1) = 12(1)^2 = 12 > 0 \] Vì \( y''(1) > 0 \), hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \). Kiểm tra hàm số \( C. y = x + \frac{1}{x} \) 1. Tính đạo hàm bậc nhất: \[ y' = 1 - \frac{1}{x^2} \] Thay \( x = 1 \): \[ y'(1) = 1 - \frac{1}{1^2} = 1 - 1 = 0 \] 2. Tính đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{2}{x^3} \] Thay \( x = 1 \): \[ y''(1) = \frac{2}{1^3} = 2 > 0 \] Vì \( y''(1) > 0 \), hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 1 \). Kiểm tra hàm số \( D. y = 2\sqrt{x} - x \) 1. Tính đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{2}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \] Thay \( x = 1 \): \[ y'(1) = \frac{1}{\sqrt{1}} - 1 = 1 - 1 = 0 \] 2. Tính đạo hàm bậc hai: \[ y'' = -\frac{1}{2x^{3/2}} \] Thay \( x = 1 \): \[ y''(1) = -\frac{1}{2(1)^{3/2}} = -\frac{1}{2} < 0 \] Vì \( y''(1) < 0 \), hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \) là: \[ \boxed{D.~y=2\sqrt{x}-x} \] Câu 63: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng hàm số bằng cách tìm đạo hàm bậc nhất và xét dấu của đạo hàm đó. A. \( y = x + \frac{1}{x+1} \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = 0 \implies \frac{1}{(x+1)^2} = 1 \implies (x+1)^2 = 1 \implies x+1 = \pm 1 \] \[ x+1 = 1 \implies x = 0 \] \[ x+1 = -1 \implies x = -2 \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < -2 \), \( y' > 0 \) - Khi \( -2 < x < 0 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > 0 \), \( y' > 0 \) Hàm số có hai điểm cực trị tại \( x = -2 \) và \( x = 0 \). B. \( y = x^3 + 3x^2 + 7x - 2 \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = 3x^2 + 6x + 7 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 + 6x + 7 = 0 \] Ta tính biệt thức: \[ \Delta = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 36 - 84 = -48 \] Vì \( \Delta < 0 \), phương trình vô nghiệm thực. Hàm số không có điểm cực trị. C. \( y = -x^4 - 2x^2 + 3 \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = -4x^3 - 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -4x^3 - 4x = 0 \implies -4x(x^2 + 1) = 0 \implies x = 0 \quad \text{(vì \( x^2 + 1 \neq 0 \))} \] 3. Xét dấu của \( y' \): - Khi \( x < 0 \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > 0 \), \( y' < 0 \) Hàm số có một điểm cực trị tại \( x = 0 \). D. \( y = x - \frac{2}{x+1} \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = 1 + \frac{2}{(x+1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 1 + \frac{2}{(x+1)^2} = 0 \implies \frac{2}{(x+1)^2} = -1 \] Phương trình này vô nghiệm vì \( \frac{2}{(x+1)^2} \) luôn dương. Hàm số không có điểm cực trị. Kết luận: Hàm số có đúng hai điểm cực trị là: \[ \boxed{A.~y=x+\frac{1}{x+1}} \] Câu 64: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho không có cực trị, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một cách cụ thể. Hàm số A: \( y = 2x + \frac{2}{x+1} \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = 2 - \frac{2}{(x+1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 2 - \frac{2}{(x+1)^2} = 0 \implies \frac{2}{(x+1)^2} = 2 \implies (x+1)^2 = 1 \implies x + 1 = \pm 1 \] \[ x + 1 = 1 \implies x = 0 \] \[ x + 1 = -1 \implies x = -2 \] 3. Kiểm tra dấu của \( y' \) quanh các điểm \( x = 0 \) và \( x = -2 \): - Khi \( x < -2 \): \[ y' = 2 - \frac{2}{(x+1)^2} > 0 \] - Khi \( -2 < x < 0 \): \[ y' = 2 - \frac{2}{(x+1)^2} < 0 \] - Khi \( x > 0 \): \[ y' = 2 - \frac{2}{(x+1)^2} > 0 \] Do đó, hàm số có cực đại tại \( x = -2 \) và cực tiểu tại \( x = 0 \). Hàm số B: \( y = x^3 + 3x^2 \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = 3x^2 + 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 + 6x = 0 \implies 3x(x + 2) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = -2 \] 3. Kiểm tra dấu của \( y' \) quanh các điểm \( x = 0 \) và \( x = -2 \): - Khi \( x < -2 \): \[ y' = 3x^2 + 6x > 0 \] - Khi \( -2 < x < 0 \): \[ y' = 3x^2 + 6x < 0 \] - Khi \( x > 0 \): \[ y' = 3x^2 + 6x > 0 \] Do đó, hàm số có cực đại tại \( x = -2 \) và cực tiểu tại \( x = 0 \). Hàm số C: \( y = -x^4 + 2x^2 + 3 \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = -4x^3 + 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -4x^3 + 4x = 0 \implies -4x(x^2 - 1) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = \pm 1 \] 3. Kiểm tra dấu của \( y' \) quanh các điểm \( x = 0 \), \( x = 1 \), và \( x = -1 \): - Khi \( x < -1 \): \[ y' = -4x^3 + 4x > 0 \] - Khi \( -1 < x < 0 \): \[ y' = -4x^3 + 4x < 0 \] - Khi \( 0 < x < 1 \): \[ y' = -4x^3 + 4x > 0 \] - Khi \( x > 1 \): \[ y' = -4x^3 + 4x < 0 \] Do đó, hàm số có cực đại tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \), và cực tiểu tại \( x = 0 \). Hàm số D: \( y = \frac{x+1}{x-2} \) 1. Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(x-2) - (x+1)}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{-3}{(x-2)^2} = 0 \] Phương trình này vô nghiệm vì tử số luôn khác 0. Do đó, hàm số \( y = \frac{x+1}{x-2} \) không có cực trị. Kết luận: Hàm số không có cực trị là \( D.~y=\frac{x+1}{x-2}. \)