Giuo mk vs

Câu 666: Để tìm phương trình đường thẳng AB, trước tiên chúng ta cần xác định tọa độ của hai điểm cực trị A và B của hàm số \( y = x^3 - 3x + 1 \). Bước 1: Tìm đạo hàm và các điểm cực trị Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 - 3. \] Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1. \] Bước 2: Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị - Với \( x = 1 \): \[ y = 1^3 - 3 \times 1 + 1 = -1. \] Vậy điểm cực trị A có tọa độ \( (1, -1) \). - Với \( x = -1 \): \[ y = (-1)^3 - 3 \times (-1) + 1 = 3. \] Vậy điểm cực trị B có tọa độ \( (-1, 3) \). Bước 3: Viết phương trình đường thẳng AB Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( A(1, -1) \) và \( B(-1, 3) \) có dạng: \[ y - y_1 = m(x - x_1), \] trong đó \( m \) là hệ số góc, được tính bằng: \[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-1)}{-1 - 1} = \frac{4}{-2} = -2. \] Chọn điểm \( A(1, -1) \) để viết phương trình: \[ y + 1 = -2(x - 1). \] \[ y + 1 = -2x + 2. \] \[ y = -2x + 1. \] Vậy phương trình đường thẳng AB là \( y = -2x + 1 \). Kết luận: Đáp án đúng là \( C.~y = -2x + 1. \) Câu 67: Để tìm tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 1) = 3x^2 - 12x + 9 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các giá trị tới hạn: \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0 \] Vậy: \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 \] 4. Thay các giá trị tới hạn vào đạo hàm bậc hai để kiểm tra tính chất của các điểm tới hạn: - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 < 0 \] Vì \( y''(1) < 0 \), nên tại \( x = 1 \) hàm số có điểm cực đại. - Tại \( x = 3 \): \[ y''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 > 0 \] Vì \( y''(3) > 0 \), nên tại \( x = 3 \) hàm số có điểm cực tiểu. 5. Tính giá trị của hàm số tại \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) - 1 = 1 - 6 + 9 - 1 = 3 \] Vậy tọa độ điểm cực đại của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9x - 1 \) là \( (1; 3) \). Đáp án đúng là: B. (1; 3). Câu 68: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 5 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 5) = 4x^3 - 4x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn: \[ y(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 5 = 5 \] \[ y(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 \] \[ y(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 5 = 1 - 2 + 5 = 4 \] 4. So sánh các giá trị đã tính để tìm giá trị cực tiểu: - Tại \( x = 0 \), giá trị của hàm số là 5. - Tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \), giá trị của hàm số là 4. Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^4 - 2x^2 + 5 \) là 4, đạt được khi \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \). Đáp án: B. 4. Câu 69: Để tìm số cực đại của hàm số \( y = -3\sqrt[3]{x^2} + 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = -3\sqrt[3]{x^2} + 2 \) có thể viết lại dưới dạng \( y = -3x^{2/3} + 2 \). Đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là: \[ y' = -3 \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} = -2x^{-1/3} = -\frac{2}{\sqrt[3]{x}} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -\frac{2}{\sqrt[3]{x}} = 0 \] Phương trình này không có nghiệm vì \( -\frac{2}{\sqrt[3]{x}} \) không bao giờ bằng 0. 3. Xác định điểm dừng: Vì \( y' \) không có nghiệm, hàm số không có điểm dừng. 4. Khảo sát dấu của \( y' \): - Khi \( x > 0 \), \( \sqrt[3]{x} > 0 \), nên \( y' = -\frac{2}{\sqrt[3]{x}} < 0 \). - Khi \( x < 0 \), \( \sqrt[3]{x} < 0 \), nên \( y' = -\frac{2}{\sqrt[3]{x}} > 0 \). Điều này cho thấy hàm số giảm trên khoảng \( (0, +\infty) \) và tăng trên khoảng \( (-\infty, 0) \). 5. Kết luận về cực đại: Hàm số không có điểm dừng, nhưng từ việc khảo sát dấu của \( y' \), ta thấy rằng hàm số không có sự thay đổi từ tăng sang giảm hoặc ngược lại tại bất kỳ điểm nào. Do đó, hàm số không có cực đại. Vậy, số cực đại của hàm số \( y = -3\sqrt[3]{x^2} + 2 \) là 0. Đáp án: B. 0. Câu 70: Để tìm hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn: \[ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4 \] \[ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] 4. Xác định giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: - Giá trị cực đại của hàm số là \( y(0) = 4 \) - Giá trị cực tiểu của hàm số là \( y(2) = 0 \) 5. Tính hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu: \[ 4 - 0 = 4 \] Vậy, hiệu số giữa giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) là \( 4 \). Đáp án đúng là: A. 4. Câu 71: Để tìm phương trình của hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) khi biết đồ thị có hai điểm cực trị là gốc tọa độ \( O(0,0) \) và điểm \( A(-1,-1) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Điều kiện cực trị: - Để hàm số có cực trị tại \( x = 0 \) và \( x = -1 \), ta cần đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = 3ax^2 + 2bx + c \] - Tại các điểm cực trị, đạo hàm phải bằng 0: \[ y'(0) = c = 0 \] \[ y'(-1) = 3a(-1)^2 + 2b(-1) + c = 3a - 2b + c = 0 \] 2. Điều kiện hàm số đi qua các điểm cực trị: - Hàm số đi qua gốc tọa độ \( O(0,0) \): \[ d = 0 \] - Hàm số đi qua điểm \( A(-1,-1) \): \[ a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -1 \] \[ -a + b - c = -1 \] 3. Hệ phương trình: - Từ các điều kiện trên, ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} c = 0 \\ d = 0 \\ 3a - 2b + c = 0 \\ -a + b - c = -1 \end{cases} \] 4. Giải hệ phương trình: - Thay \( c = 0 \) và \( d = 0 \) vào hệ phương trình: \[ \begin{cases} 3a - 2b = 0 \\ -a + b = -1 \end{cases} \] - Từ phương trình thứ hai: \( b = a - 1 \) - Thay vào phương trình thứ nhất: \[ 3a - 2(a - 1) = 0 \Rightarrow 3a - 2a + 2 = 0 \Rightarrow a = -2 \] - Thay \( a = -2 \) vào \( b = a - 1 \): \[ b = -2 - 1 = -3 \] 5. Phương trình hàm số: - Thay các giá trị \( a = -2 \), \( b = -3 \), \( c = 0 \), \( d = 0 \) vào phương trình hàm số: \[ y = -2x^3 - 3x^2 \] Vậy phương trình của hàm số là \( y = -2x^3 - 3x^2 \). Đáp án đúng là \( B. \) Câu 72: Để tìm điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = \sqrt{1 + 4x - x^4} \), ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Biểu thức dưới dấu căn phải không âm, do đó: \[ 1 + 4x - x^4 \geq 0 \] Để giải bất phương trình này, ta đặt \( f(x) = 1 + 4x - x^4 \) và tìm nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \). Bước 2: Giải phương trình \( f(x) = 0 \) Phương trình: \[ 1 + 4x - x^4 = 0 \] Đặt \( t = x^2 \), ta có: \[ 1 + 4x - x^4 = 1 + 4x - t^2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai theo \( t \): \[ t^2 = 4x + 1 \] Tìm nghiệm của phương trình này bằng cách thử các giá trị của \( x \) hoặc sử dụng phương pháp khác để tìm nghiệm. Bước 3: Tìm đạo hàm và điểm cực trị Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{1 + 4x - x^4} \right) = \frac{1}{2\sqrt{1 + 4x - x^4}} \cdot (4 - 4x^3) \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 4 - 4x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1 \] Bước 4: Kiểm tra giá trị tại \( x = 1 \) Thay \( x = 1 \) vào hàm số ban đầu: \[ y = \sqrt{1 + 4 \cdot 1 - 1^4} = \sqrt{1 + 4 - 1} = \sqrt{4} = 2 \] Vậy điểm cực trị là \( (1, 2) \). Kết luận Điểm cực trị của đồ thị hàm số là \( (1, 2) \). Do đó, đáp án đúng là \( A. (1; 2) \). Câu 73: Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) sao cho đồ thị hàm số \(y = x^3 - 2x^2 + ax + b\) có điểm cực trị tại \(A(1; 3)\). 2. Tính giá trị của \(4a - b\). Bước 1: Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) Điểm cực trị \(A(1; 3)\) nằm trên đồ thị hàm số, do đó: \[ y(1) = 1^3 - 2 \cdot 1^2 + a \cdot 1 + b = 3 \] \[ 1 - 2 + a + b = 3 \] \[ -1 + a + b = 3 \] \[ a + b = 4 \quad \text{(1)} \] Tiếp theo, để tìm giá trị của \(a\), chúng ta cần tính đạo hàm của hàm số \(y = x^3 - 2x^2 + ax + b\): \[ y' = 3x^2 - 4x + a \] Tại điểm cực trị \(x = 1\), đạo hàm bằng 0: \[ y'(1) = 3 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + a = 0 \] \[ 3 - 4 + a = 0 \] \[ -1 + a = 0 \] \[ a = 1 \] Thay \(a = 1\) vào phương trình (1): \[ 1 + b = 4 \] \[ b = 3 \] Bước 2: Tính giá trị của \(4a - b\) \[ 4a - b = 4 \cdot 1 - 3 = 4 - 3 = 1 \] Vậy giá trị của \(4a - b\) là 1. Đáp án: A. 1. Câu 74: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 2) = 3x^2 - 6x \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn. \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 3: Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách xét dấu của đạo hàm hoặc sử dụng đạo hàm bậc hai. - Đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \] - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \] Do đó, tại \( x = 0 \), hàm số có giá trị cực đại. - Tại \( x = 2 \): \[ y''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0 \] Do đó, tại \( x = 2 \), hàm số có giá trị cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn. - Tại \( x = 0 \): \[ y(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 2 = -2 \] Giá trị cực đại \( a = -2 \). - Tại \( x = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - 3(2)^2 - 2 = 8 - 12 - 2 = -6 \] Giá trị cực tiểu \( b = -6 \). Bước 5: Tính giá trị của \( 2a^2 + b \). \[ 2a^2 + b = 2(-2)^2 + (-6) = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2 \] Vậy giá trị của \( 2a^2 + b \) là 2. Đáp án đúng là: C. 2. Câu 75: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = x^4 - 5x^2 + 3 \). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số. \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 5x^2 + 3) = 4x^3 - 10x \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn. \[ 4x^3 - 10x = 0 \] \[ 2x(2x^2 - 5) = 0 \] Từ đây, ta có: \[ 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 - 5 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = \frac{5}{2} \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \] Bước 3: Xác định các điểm cực trị. Các điểm tới hạn là \( x_1 = 0 \), \( x_2 = \sqrt{\frac{5}{2}} \), và \( x_3 = -\sqrt{\frac{5}{2}} \). Bước 4: Tính tích \( x_1 x_2 x_3 \). \[ x_1 x_2 x_3 = 0 \cdot \sqrt{\frac{5}{2}} \cdot (-\sqrt{\frac{5}{2}}) = 0 \] Vậy giá trị của tích \( x_1 x_2 x_3 \) là: \[ \boxed{0} \] Câu 76: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho chỉ có cực đại mà không có cực tiểu, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số một cách chi tiết. Hàm số A: \( y = -10x^4 - 5x^2 + 7 \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = -40x^3 - 10x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -40x^3 - 10x = 0 \implies -10x(4x^2 + 1) = 0 \implies x = 0 \quad (\text{vì } 4x^2 + 1 > 0 \text{ luôn đúng}) \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai: \[ y'' = -120x^2 - 10 \] 4. Kiểm tra dấu của \( y'' \) tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = -10 < 0 \] Điều này cho thấy \( x = 0 \) là điểm cực đại. 5. Kết luận: Hàm số \( y = -10x^4 - 5x^2 + 7 \) chỉ có cực đại mà không có cực tiểu. Hàm số B: \( y = -17x^3 + 2x^2 + x + 5 \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = -51x^2 + 4x + 1 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -51x^2 + 4x + 1 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai, có thể có hai nghiệm thực. Do đó, hàm số này có thể có cả cực đại và cực tiểu. 3. Kết luận: Hàm số \( y = -17x^3 + 2x^2 + x + 5 \) có thể có cả cực đại và cực tiểu. Hàm số C: \( y = \frac{x-2}{x+1} \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{(x+1) - (x-2)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{3}{(x+1)^2} = 0 \quad (\text{không có nghiệm vì tử số luôn khác 0}) \] 3. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{x-2}{x+1} \) không có cực trị. Hàm số D: \( y = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} \) 1. Tìm đạo hàm bậc nhất: \[ y' = \frac{(2x + 1)(x - 1) - (x^2 + x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x - 1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ x^2 - 2x - 2 = 0 \implies x = 1 \pm \sqrt{3} \] 3. Kết luận: Hàm số \( y = \frac{x^2 + x + 1}{x - 1} \) có thể có cả cực đại và cực tiểu. Kết luận cuối cùng: Hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu là: \[ \boxed{A.~y = -10x^4 - 5x^2 + 7} \] Câu 77: Để xác định số điểm cực trị của hàm số bậc ba, chúng ta cần xét đạo hàm của hàm số này. Giả sử hàm số bậc ba có dạng: \[ f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \] Đạo hàm của hàm số này là: \[ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c \] Điểm cực trị của hàm số xảy ra khi đạo hàm bằng không: \[ f'(x) = 0 \] \[ 3ax^2 + 2bx + c = 0 \] Đây là một phương trình bậc hai. Số nghiệm của phương trình này phụ thuộc vào biệt thức \(\Delta\): \[ \Delta = (2b)^2 - 4 \cdot 3a \cdot c = 4b^2 - 12ac \] Có ba trường hợp có thể xảy ra: 1. Nếu \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, tức là hàm số có hai điểm cực trị. 2. Nếu \(\Delta = 0\), phương trình có một nghiệm kép, tức là hàm số có một điểm cực trị. 3. Nếu \(\Delta < 0\), phương trình vô nghiệm, tức là hàm số không có điểm cực trị. Do đó, hàm số bậc ba có thể có 0, 1 hoặc 2 điểm cực trị. Vậy đáp án đúng là: A. 0 hoặc 1 hoặc 2. Câu 78: Hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi đạo hàm của nó \( y' = 3ax^2 + 2bx + c \) luôn dương trên \(\mathbb{R}\). Để \( y' > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), ta cần: 1. Hệ số \( a \) của \( x^2 \) phải dương (\( a > 0 \)). 2. Biệt thức của đa thức bậc hai \( 3ax^2 + 2bx + c \) phải âm (\( b^2 - 3ac < 0 \)) để đảm bảo rằng đồ thị của đa thức này không cắt trục hoành. Do đó, hàm số \( y = ax^3 + bx^2 + cx + d \) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi: \[ a > 0 \quad \text{và} \quad b^2 - 3ac < 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ B. \left[ \begin{array}{l} a = 0, c > 0 \\ a > 0; b^2 - 3ac < 0 \end{array} \right. \]